Constructions

Merci à Soland et JFS, j'ai corrigé mon typo.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Je rappelle quand même que ce misérable exercice était faisable autrefois par un élève de Seconde!
Donc les moyens utilisés pour le résoudre ne sont pas si extraordinaires que cela, le Lebossé-Hémery de Seconde, (programme 1947) devrait suffire largement!
Pourtant on peut aussi l'aborder avec de la haute technologie.
Si on munit la droite $\Delta$ d'un repère orthonormé, (en dimension $1$ ça fait class!), on savait autrefois que la correspondance entre les points $a$ et $a'$ était homographique quand le point $M$ décrivait le cercle $\Gamma$.
En identifiant les points de $\Delta$ avec leur coordonnée dans le repère orthonormé susdit, on peut écrire à priori:
$$a'=\dfrac{pa+q}{ra+s}$$
Donc le problème demandé revient à résoudre (dans les délais les plus brefs si possible inférieurs à la minute) l'équation:
$$\dfrac{pa+q}{ra+s}=a+\ell$$
On tombe bien sur un problème du second degré comme je l'avais dit!
Tout cela pour dire qu'on peut aussi résoudre ce problème par des méthodes homographiques tout aussi défuntes que le Lebossé-Hémery!
Quant à la question subsidiaire demandant à chercher les couples de points $(A,A')$ sur le cercle $\Gamma$ pour que le problème n'ait qu'une seule solution, la réponse est la suivante:
Pour qu'il en soit ainsi, sur le cercle $\Gamma$, le point $A'$ dépend du point $A$ par une transformation circulaire directe parabolique à déterminer évidemment sans quoi ce ne serait pas drôle!
En définitive, ce problème était intéressant autrefois et pour des lycéens et pour des agrégatifs!
Aujourd'hui on peut le mettre à la poubelle directoss et rapidoss, vite fait bien fait, sauf pendant les périodes exceptionnelles de confinement!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Je vois que ce petit problème de construction ne soulève pas beaucoup d'enthousiasme.
On a dû en rester aux constructions de la droite passant par deux points donnés et du cercle de centre donné passant un point donné qui suffisent largement dans nos programmes actuels à illustrer l'utilisation de la règle et du compas!
Voici sans commentaires la construction que j'ai trouvée.
Elle ne parait pas si compliquée que cela, peut-être parce que j'en ai soigneusement effacé l'idée sous-jacente.
Quelle est cette idée?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ce petit problème de construction m'a été envoyé par un élève de Première de Louis Le Grand qui s'intéresse beaucoup à la géométrie mais aussi à l'analyse, l'algèbre et l'algèbre linéaire

Bonsoir à tous
Voici un nouveau problème de construction, toujours communiqué par cet élève de Première, en fait plus préoccupé de comprendre la théorie de Galois que de lire le défunt et obsolète Lebossé-Hémery.
Il a donc quelques mérites à s'intéresser quand même à la géométrie.
Les données sont le cercle $\Gamma$ et dessus deux points $A$ et $A'$ puis la droite $\Delta$ et un point $P\in \Delta$.
Edit: Merci Gai Requin, j'ai corrigé mon oubli.
Il s'agit de construire les points $M\in \Gamma$ tels que si $a=MA\cap \Delta$ et $a'=MA'\cap \Delta$, le point $P$ soit le milieu du segment $aa'$.
C'est exactement la même méthode que précédemment où cette fois-ci la translation est remplacée par une symétrie centrale.
Mais comme le groupe des symétries centrales translations a disparu depuis belle lurette, on se doute un peu de l'enthousiasme que ce nouvel exercice va soulever!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Voici ce que j'obtiens après voir effacé les points $A''$ et $A'''$ ainsi que le cercle $A'A''A'''$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Encore un cauchemar en perspective comme si on en avait besoin en ce moment!

Bonjour à tous
Sur cette figure, j'ai reproduit la figure de Gai Requin sans grand mérite puisque je connais la solution générale.
Comme Gai Requin l'a dit, c'est un problème du second degré.
On connait une droite solution à savoir l'axe radical.
Il y a donc une autre droite solution passant par $P$ que j'ai dûment tracée mais sans me servir d'un éventuel cercle auxiliaire, fut-il tracé en rouge!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Gai Requin
Ma construction diffère de la tienne mais cela n'a pas d'importance.
Mais aurais-tu trouvé sans le savoir une méthode pour résoudre le cas général?
Ta droite $d=HIJK$ est une droite solution quelconque
$P$ est défini comme intersection de la droite $d$ avec l'axe radical, (les cercles ne sont pas forcément sécants mais l'axe radical est toujours là fidèle au poste sauf si les cercles sont concentriques!).
Ta figure reste donc valable!
Enfin tu fais intervenir les projections orthogonales des centres $O$ et $O'$ sur la droite solution $d$.
Tu touilles le tout et tu rentres à l'X ou à l'ENS dans les années 1880.
Un peu de retard à l'allumage quand même!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir à tous
Quant au problème n°2, la construction est pourtant aussi simple que celle du problème n°1.
Explication de gravures?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
N'as-tu pas compris que tu as pratiquement trouvé la solution du cas général en proposant ton avant-dernière figure?
J'ai seulement modifié l'ordre d'apparition des points de ta figure.
Je suppose que ta droite $d$ est une droite solution, i.e: $HI=JK$.
Ensuite $P$ est défini comme intersection de $d$ avec l'axe radical, peut-être aurais-je dû lui donner un autre nom?
On tombe alors sur la même figure que la tienne avec tes notations.
Tu viens de montrer que la symétrie centrale $\sigma_P$ envoie $HI$ sur $KJ$.
Qu'est-ce qui se passe alors avec les points $P$, $U$, $U'$ avec mes notations?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Merci Gai Requin, j'ai corrigé mon typo.
En fait je vois que tu ne m'as pas compris parce que je me suis mal expliqué.
Je considère d'abord la famille $\mathcal F$ des droites $d$ découpant sur chaque cercle des cordes de même longueur.
C'est seulement après avoir déterminé cette famille $\mathcal F$ qu'on se pose la question de chercher les droites de la famille passant par un point donné!
Achève l'explication de la figure ci-dessous!

Merci Gai Requin
Mais tu n'as pas expliqué ma dernière figure c'est-à-dire (encore ces maudits tirets!) le point $\Omega$ (de Teilhard?).
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Gai Requin
Et ta construction des droites passant par un point donné $P$ est exactement celle des tangentes issues d'un point à une parabole.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
C'est tout ce qui me reste en ce moment: attendre je ne sais quoi ou ce que je sais trop mais je suis comme mes ancêtres: je n'ai peur que d'une chose: que le ciel me tombe sur la tête!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
Certes il n'y a pas grand mérite à le résoudre puisque j'avais presque fait la figure mais tes lecteurs réclament un minimum de commentaires.
Après tu pourras t'attaquer aux problèmes des solutions uniques dans les problèmes $1$, $2$, $3$ qui sont d'autant plus passionnants que je sais que tu as maintenant de solides références eb géométrie circulaire!
Amicalement
[small]p[/small]appus