Constructions

bB^2*z^2 - 2*(2*a*aB-b*bB)*z*zB + b^2*zB^2 + 2*(a-aB)*(b*zB-bB*z) + ((a + aB)^2-4*b*bB)=0

- (aB+bB*t)*z-t*(b + a*t)*zB+(b + a*t + aB*t + bB*t^2)=0

a + aB + 2*bB*t - bB*z - zB*(b + a*t) - a*t*zB=0

• Rappel 1. Une homographie est un élément de $
  
  \def\cc{\mathbb{C}} \def\pglcd{\mathbb{PGL}_{\cc}\!\left(\cc^{2}\right)} \def\pccd{\mathbb{P}_{\cc}\!\left(\cc^{2}\right)} \def\pglct{\mathbb{PGL}_{\cc}\!\left(\cc^{3}\right)} \def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}}
  \def\hhh{\mathfrak{H}}
  
  $ $\pglcd$ agissant sur $\pccd$. Ce n'est donc pas un élément de $\pglct$ qui agirait sur $\pcct$.
  
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• Rappel 2. Le fait de "passer en projectif" consiste à ajouter un certain nombre de points à l'espace ordinaire. Une manipulation correcte de ces nouveaux points, appelés "points à l'infini", est l'un des objectifs centraux de ce "passage en projectif".
  
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• $
  
  \def\rr{\mathbb{R}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}
  
  $ Une façon simple pour obtenir la formule donnée par pappus est de poser \[ h:\left(\begin{array}{c} z\\ t \end{array}\right)\mapsto\left[\begin{array}{cc} a\,\delta\,\alpha & b\,\beta\,\gamma\\ c\,\beta/\gamma & d\,\delta/\alpha \end{array}\right]\cdot\left(\begin{array}{c} z\\ t \end{array}\right) \] avec $a,b,c,d\in\rr$, $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{S}$ et d'écrire que $h\left(\tau,1\right)\in\Gamma$. On écrit que les 3 coefficients en $\tau$ sont nuls et on résoud en $d,b,\delta$. On jette tout ce qui donnerait un déterminant nul et on constate qu'il ne reste qu'un seul modèle: \[ h:\left(\begin{array}{c} z\\ t \end{array}\right)\mapsto\left[\begin{array}{cc} a\,\alpha & c/\gamma\\ c\,\gamma & a/\alpha \end{array}\right]\cdot\left(\begin{array}{c} z\\ t \end{array}\right) \]
  
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• Cette homographie se prolonge en une transformation de Cremona $\hhh$ en imposant que $\hhh$ se projette selon $h$ sur la sphère $\vz:\vt$ et selon $\overline{h}$ sur la sphere $\vzz:\vt$. Il vient: \[ \hhh\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \alpha^{2}\left(a\alpha\,\gamma\,\vz+c\vt\right)\left(c\vzz+a\alpha\,\gamma\,\vt\right)\\ \alpha\gamma\left(c\gamma\,\alpha\,\vz+a\vt\right)\left(c\vzz+a\alpha\,\gamma\,\vt\right)\\ \gamma^{2}\left(c\gamma\,\alpha\,\vz+a\vt\right)\left(a\vzz+\alpha\,c\gamma\,\vt\right) \end{array}\right) \] Les points d'indétermination sont les deux ombilics et le point $\dfrac{-a}{c\,\alpha\gamma}:1:\dfrac{-a\ \alpha\gamma}{c}$. Tandis que le lieu exceptionnel est formé de la droite de l'infini et des isotropes du pôle.
  
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• On s'intéresse aux droites $\Delta_{M}\doteq M\hhh\left(M\right)$ lorsque $M\in\Gamma$. On écrit donc \[ \Delta_{\tau}=\left(\begin{array}{c} \tau\\ 1\\ 1/\tau \end{array}\right)\wedge\hhh\left(\begin{array}{c} \tau\\ 1\\ 1/\tau \end{array}\right)\simeq\left[\left(c\,\gamma+a\div\alpha\tau\right),-c\,\gamma\tau-c\div\gamma\tau-a\alpha-a/\alpha,\;\left(a\,\alpha\tau+c/\gamma\right) \right] \] Si l'on applique la théorie générale des enveloppes, on est amené à calculer \[ K_{\tau}\doteq\Delta_{\tau}\wedge\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\Delta_{\tau}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \left(\alpha/\gamma\right)\left(a^{2}\gamma\tau\left(\alpha+1/\alpha\right)+2\,a\,c+c^{2}/\alpha\left(1/\gamma\tau-\gamma\tau\right)\right)\\ ac\,\left(\alpha\gamma\tau+1/\alpha\gamma\tau\right)+2\,a^{2}\\ \left(\gamma/\alpha\right)\left(a^{2}/\gamma\tau\left(\alpha+1/\alpha\right)+2\,a\,c+c^{2}\alpha\left(\gamma\tau-1/\gamma\tau\right)\right) \end{array}\right) \] Et à se demander quel est le lieu de $K_{\tau}$... en appliquant la procédure locusconi.
  
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• Il est évidemment plus efficace d'appliquer directement cette procédure locusconi à la droite $\Delta_{\tau}!$ On trouve \[ \mathcal{C}^{*}\simeq\left[\begin{array}{ccc} 2\,\dfrac{c^{2}}{\gamma^{2}} & \dfrac{a\,c}{\gamma}\left(\dfrac{1}{\alpha}-\alpha\right) & a^{2}\left(\alpha^{2}+\dfrac{1}{\alpha^{2}}\right)+2\,a^{2}-2\,c^{2}\\ \dfrac{a\,c}{\gamma}\left(\dfrac{1}{\alpha}-\alpha\right) & -2\,a^{2} & a\,c\gamma\left(\alpha-\dfrac{1}{\alpha}\right)\\ a^{2}\left(\alpha^{2}+\dfrac{1}{\alpha^{2}}\right)+2\,a^{2}-2\,c^{2} & a\,c\gamma\left(\alpha-\dfrac{1}{\alpha}\right) & 2\,c^{2}\gamma^{2} \end{array}\right] \]
  
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• On applique la méthode de Plucker et l'on trouve les foyers: \[ F_{1},F_{2}\simeq\left(\begin{array}{c} c\,\alpha^{2}\\ a\,\alpha\gamma\\ c\,\gamma^{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -c\\ a\alpha\,\gamma\\ -c\alpha^{2}\gamma^{2} \end{array}\right) \] On trace les deux coniques (ellipse et hyperbole) passant par un point $K_{\tau}$. Un choix possible est $\tau=1$ !
  
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• $
  
  \def\ptv{~;~} \def\where{\qquad\mathrm{where}\;}
  
  $On calcule les points fixes de $\hhh$. Il y en a quatre \begin{gather*} U^{\pm}\doteq\left(\begin{array}{c} \dfrac{a\left(\alpha-1/\alpha\right)\pm W}{2c\,\gamma}\\ 1\\ \dfrac{a\left(1/\alpha-\alpha\right)\pm W\alpha}{2\,c/\gamma} \end{array}\right)\ptv V^{\pm}\doteq\left(\begin{array}{c} \dfrac{a\left(\alpha-1/\alpha\right)\pm W}{2c\,\gamma}\\ 1\\ \dfrac{a\left(1/\alpha-\alpha\right)\mp W\alpha}{2\,c/\gamma} \end{array}\right)\\ \where W^{2}\doteq a^{2}\left(\alpha-\dfrac{1}{\alpha}\right)^{2}+4\,c^{2}\in\rr \end{gather*} Lorsque $W^{2}>0$ alors $\overline{W}=W$ et les points $U^{\pm}$ sont visibles. Lorsque $W^{2}<0$ alors $\overline{W}=-W$ et les points $V^{\pm}$sont visibles. Par contre, les droites concernées sont toujours visibles. On a $V^{+}V^{-}\simeq\left[\gamma^{2}:0:1\right]$ et cette droite passe par $O$. On a $U^{+}U^{-}\simeq\left[-c\gamma,\,a\left(\alpha-1/\alpha\right),c/\gamma\right]$ et cette droite est perpendiculaire à la précédente, et parallèle à l'axe focal. Le point milieu est $z_{K0}=\frac{1}{2}\dfrac{a}{c\gamma}\left(\alpha-\dfrac{1}{\alpha}\right)$ et vaut $a^{2}/c^{2}$ fois le centre $\frac{1}{2}\left(F_{1}+F_{2}\right)$ donnant une construction robuste de cette droite.
  
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• Il est évident que l'ensemble des points fixes de $\hhh$ est invariant par inversion wrt $\Gamma$. Ces points sont donc auto-inverses ou bien inverses par paire. Au vu des alignements, $V^{+}$et $V^{-}$sont inverses l'un de l'autre et $U^{+},U^{-}$ sont sur $\Gamma$. Cela se vérifie aisement. On en déduit que la conique et le cercle sont bitangents aux points $U^{\pm}$ (visibles ou non).
  
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• Soient $M_{1},M_{3}\in\Gamma$ ainsi que $M_{2}=\hhh\left(M_{1}\right),\;M_{4}=\hhh\left(M_{3}\right)$. L'intersection $M_{1}M_{4}\cap M_{3}M_{2}$ vient se placer sur la droite $U^{+}U^{-}$ qui est donc le fameux axe d'homographie de $\hhh$. Cette propriété est limitée au cercle.

• La "méthode de Morley" consiste à tout paramétrer par des réels et des turns de façon à ce que la conjugaison complexe se traduise par des opérations holomorphes sur les coefficients. D'où l'intérêt de noter $h$ par:
  \[ h(z)= {\frac { \left( a\alpha\,z+c/\gamma \right) }{ \left( c\gamma\,z+a/\alpha \right) }} \] avec $a,c\in\R$ et $\alpha,\gamma \in \mathbb S $
  
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• Théorème de la comatrice: si l'on fait exprès de placer les cofacteurs à la mauvaise place, il faudra ensuite les changer de place. Cela est discuté en détail dans Ramis Tome 1, § 10.3.3 (edition de 1985, page 359). Quelques (!) années plus tard, il semble que des dissidents résistent encore, et continuent de faire exprès de placer les cofacteurs à la mauvaise place, pour ensuite pouvoir les changer de place. Dans la matrice 3x3 qui décrit un triangle, les cofacteurs d'un sommet décrivent le côté opposé, et ces 3 côtés forment un trigone. C'est comme cela, vous n'y pouvez rien: les cofacteurs d'une colonne viennent former une ligne.
  
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• La directrice d'une conique est la polaire du foyer auquel elle est associée. $
  
  \def\ptv{~;~} \def\rr{\mathbb{R}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\where{\qquad\mathrm{where}\;}
  
  $ On a \[ F_{1}\simeq\dfrac{c\,\alpha}{a\gamma}:1:\dfrac{c\,\gamma}{a\,\alpha}\ptv\Delta_{1}\simeq\left[\gamma,\,-\dfrac{a}{c}\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right),\,\frac{1}{\gamma}\right] \] Une fois tous les calculs terminés, on peut toujours dire que l'on "voit" la conique s'écrire sous la forme: \[ \left(\frac{a}{c}\right)^{2}\left|\frac{\vz}{\vt}-\dfrac{c\,\alpha}{a\gamma}\right|^{2}=\left(\Re\left(\frac{\gamma\vz}{\vt}-\frac{a}{c\alpha}\right)\right)^{2} \] mais essayer d'obtenir cette formule par identification semble mission impossible.
  
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• On sait en effet que l'on ne peut pas lire l'excentricité d'une conique sur son équation formelle. Les quantités accessibles sont $\sigma=a^{2}+b^{2}$ et $\pi=a^{2}b^{2}$. On a alors: \[ f^{4}=\sigma^{2}-4\pi\;;\;\frac{\pi}{\sigma^{2}}=\phi\left(e\right)\doteq\frac{1-e^{2}}{\left(2-e^{2}\right)^{2}} \] Dans notre cas, on obtient deux valeurs pour $e$ : \[ e_{1}=\frac{c}{a}\ptv e_{2}=\frac{c}{\sqrt{c^{2}-a^{2}}} \] Que peut-on dire/faire de $e_{2}$ lorsque la conique est une hyperbole ?
  
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• Il n'y a pas de "conique tangentielle" dans ce qui a été discuté jusqu'à présent. Il y a une conique, et une seule. Par contre il y a une équation ponctuelle et une équation tangentielle. Et leurs deux matrices sont adjugate of each other (on ne recommence pas la discussion sur l'utilité de placer les cofacteurs à la bonne place).
  
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• $
  
  \def\hhh{\mathfrak{H}} \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}}
  
  $Le centre est le pôle de la droite de l'infini. Comme on a déjà l'équation tangentielle...
  
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• $\hhh^{-1}\left(a,\alpha,c,\gamma\right)=\hhh\left(a,\frac{-1}{\alpha},c,\gamma\right)$. Cela ne change pas les points fixes (=joke!) et cela échange les foyers (et les directrices associées).
  
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• La droite des contacts s'obtient en résolvant en $\mu$ l'équation $\det\left(\mathcal{C}-\mu\,\Gamma\right)=0$. On trouve (racine double) la corde commune au carré. Et aussi (racine simple) le produit des tangentes au point de contact. Vérif: l'intersection de ces deux tangentes est le pôle de la corde commune.
  
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• Décomposition de la conique $\mathcal{C}$. On a $\det\mathcal{C}=-4\,a^{2}\alpha^{6}\gamma^{6}\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}$. Et on conclut.
  
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• Extension collinéatoire. On calcule la collineation $\rho$ qui envoie les points $M\left(\tau_{j}\right)$ sur les points $\hhh\left(M\left(\tau_{j}\right)\right)$ pour $j=1,2,3,4$. On trouve: \[ \boxed{\rho}\simeq\frac{1}{\alpha^{2}\gamma^{2}}\,\left[\begin{array}{ccc} a^{2}\alpha^{4}\gamma^{2} & 2\,a\,c\,\alpha^{3}\gamma & c^{2}\alpha^{2}\\ ac\,\alpha^{3}\gamma^{3} & \left(a^{2}+c^{2}\right)\alpha^{2}\gamma^{2} & ac\,\alpha\,\gamma\\ c^{2}\gamma^{4}\alpha^{2} & 2\,ac\,\alpha\,\gamma^{3} & a^{2}\gamma^{2} \end{array}\right] \] Cette matrice est donc indépendante des quatre points choisis, et définit une transformation intrinsèque. En plus de quoi, elle est jolie comme tout. Pas besoin d'embrouiller les calculs en tuant brutalement les points invisibles. Voir les ombilics se retrouver confinés au narthex, mauvaise période pour une géométrie prétendue circulaire !
  
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• Les valeurs propres de cette collinéation $\rho$ sont \begin{gather*} \lambda_{j}=a^{2}-c^{2}\ptv c^{2}+\left(\alpha^{2}+\frac{1}{\alpha^{2}}\right)\frac{a^{2}}{2}+\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)\frac{aW}{2}\ptv c^{2}+\left(\alpha^{2}+\frac{1}{\alpha^{2}}\right)\frac{a^{2}}{2}-\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)\frac{aW}{2}\\ \where W^{2}\doteq a^{2}\left(\alpha-\dfrac{1}{\alpha}\right)^{2}+4\,c^{2}\in\rr \end{gather*}
  
  
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• On vérifie que $\tra{\boxed{\rho}}\cdot\boxed{\Gamma}\cdot\boxed{\rho}=\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}\boxed{\Gamma}\where\boxed{\Gamma}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ 0 & 2 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right)$. Ceci ne fait qu'exprimer le fait que le cercle unité est invariant. Le point propre wrt $\lambda_{1}$ est le pôle de la corde de contact. Les deux autres points fixes sont les extrémités de la corde de contact.
  
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• La corde de contact est globalement invariante par $\hhh$ et par $\rho$. En effet, les contacts $U^+,U^-$ sont des points fixes. L'image par $\hhh$ de la corde $U^+U^-$ est un cycle faisant le bon angle avec le cercle $\Gamma$, tandis que l'image de la corde $U^+U^-$ par $\rho$ est une droite.
  
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• Le point générique de la droite $U^+U^-$ s'écrit: \[ \frac{1-x}{2}\,U^++\frac{1+x}{2}\,U^-=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c} -x\,\dfrac{W}{c\,\gamma}+\dfrac{a\,\alpha}{c\,\gamma}-\dfrac{a}{c\,\alpha\gamma}\\ 2\\ -x\,\dfrac{W\,\gamma}{c}+\dfrac{a\gamma}{\alpha\,c}-\dfrac{a\,\alpha\gamma}{c} \end{array}\right) \] En utilisant des notations horribles, mais "auto-explicatives", on trouve \[ \widehat{\hhh}\left(x\right)=\dfrac{-ax\left(\alpha+1/\alpha\right)+W}{W\,x-a\left(\alpha+1/\alpha\right)}\ptv\widehat{\rho}\left(x\right)=\dfrac{\left(-a^{2}\left(\alpha^{2}+1/\alpha^{2}\right)-2\,c^{2}\right)x+a\left(\alpha+1/\alpha\right)W}{a\left(\alpha+1/\alpha\right)Wx-a^{2}\left(\alpha^{2}+1/\alpha^{2}\right)-2\,c^{2}} \] fournissant deux homographies (de vraies homographies, méfiez vous des contrefaçons) ayant $\pm1$ comme points fixes. Lorsque la corde commune est visible, ces homographies sont à coefficients réels ($W^{2}>0$). Et sinon, c'est pas grave, cela ne se voit pas.
  
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• Le lecteur n'aura pas manqué de remarquer que $\widehat{\hhh}\left(\widehat{\hhh}\left(x\right)\right)= \widehat{\rho}\left(x\right)$. Interprétation géométrique ?