Décomposition homographe sur une conique

Mon cher Amateur
On décompose une homographie $f$ d'une conique $\Gamma$ d'une façon ou d'une autre en produit de deux involutions (dites de Frégier, cocorico!) de pôles respectifs $u$ et $v$: $f=\sigma_v\circ \sigma_u$
La droite $D=uv$ est l'axe d'homographie de $f$ et les intersections éventuelles de $D$ avec $\Gamma$ sont les points fixes de $f$
Autrement dit la décomposition de $f$ en produit de deux involutions sert à construire les deux points fixes éventuels de $f$
La figure ci-dessous est faite dans le plan projectif. La conique $\Gamma$ a été tracée comme un cercle pour des raisons de rapidité mais je rappelle que dans le plan projectif, il n'y a plus de cercles, d'ellipses, d'hyperboles ou de paraboles mais que des coniques propres ou décomposées.
Tu as sous tes yeux une conique propre $\Gamma$, point barre!
Sur cette conique $\Gamma$ j'ai choisi un couple de points $(a,a')$ et une droite $D$.
On sait d'après le défunt cours qu'il existe une unique homographie $f$ de $\Gamma$ telle que $f(a) = a'$ et ayant $D$ pour axe d'homographie.
Je vais te monter comment décomposer $f$ en produit de deux involutions: $f=\sigma_v\circ \sigma_u$.
Je choisis un point quelconque $\alpha\in \Gamma$.
Alors $u=a\alpha\cap D$ et $v=a'\alpha\cap D$.
En faisant varier $\alpha$ sur $\Gamma$, on obtient toutes les décompositions possibles de $f$.
La figure montre comment construire simplement $m'=f(m)$.
Quand $\alpha$ varie sur $\Gamma$, il en est de même des points $u$, $v$ et $\mu$ mais le point $m'=f(m)$ reste impertubablement à la même place comme le bon petit soldat qu'il est!
Tu vois que cette construction de la décomposition ne fait pas intervenir les points fixes éventuels de $f$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Amateur
Je vois surtout que tu as l'esprit très brumeux car tu mélanges tout!
En tout cas si tu t'intéresses au problème de Castillon, je me souviens qu'on a dû l'aborder dans plusieurs numéros de Quadrature datant de pas mal d'années.
Si je ne suis pas trop paresseux, je pourrais bien ouvrir une discussion sur ce sujet mais à quoi bon?
Ce ne sont que des fadaises de géométrie projective ou circulaire et on en est resté aux axiomes de Thalès et de Pythagore!
Amicalement
[small]p[/small]appus