Un point sur AH

% Bouzar - 21/03/2020 - Un point sur AH

clc, clear all, close all;

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a; % Morley circonscrit
bB=1/b;
cB=1/c;

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

syms p pB  % Un point P quelconque

[ap bp cp apB bpB cpB] = TriangleCircumCevien(a,b,c,p,aB,bB,cB,pB);

ap=Factor(ap); % Le triangle circumcévien A'B'C' de P
bp=Factor(bp); % par rapport au triangle ABC
cp=Factor(cp);

% On trouve ap = (a - p)/(a*pB - 1) et permutation circulaire

[bs bsB]=SymetriquePointDroite(bp,a,c,bpB,aB,cB); % Symétrique B" de B' par rapport à (AC)
[cs csB]=SymetriquePointDroite(cp,a,b,cpB,aB,bB); % Symétrique C" de C' par rapport à (AB)

[s sB R2]=CercleTroisPoints(p,bs,cs,pB,bsB,csB); % Cercle circonscrit au triangle PB"C"

s=Factor(s);   % Le centre S
R2=Factor(R2); % Le carré du rayon R2

% On trouve s=(a*m+s3*mB+b*c*p*pB-s2)/p+b*c*pB-b-c);

% S est il sur la hauteur (AH) ?

Mat=[a aB 1; s1 s1B 1; s sB 1];

NulS=Factor(det(Mat)) % Égal à 0 donc c'est gagné !

%-----------------------------------------------------------------------

% Supplément de Pappus

[as asB]=SymetriquePointDroite(ap,b,c,apB,bB,cB); % Symétrique A" de A' par rapport à (BC)

[TC plob plim D]=TransfoCirculaire(a,b,c,as,bs,cs);

plob=Factor(plob) % le point objet plob = p
plim=Factor(plim) % le point limite plim = p

F=-(a*p - a*c - b*c - a*b + b*p + c*p + a*b*c*pB); % Dénominateur commun

TC=FactorT(F*TC);

% On trouve: z |---> (p z +(s2-s1*p-s3*pB))/(z - p)

• Comment passer de $\phi$ à $\Phi_{b}$ ? Pour commencer, $\phi$ est une homographie, qui agit sur $
  
  \def\pccd{\mathbb{P}_{\mathbb{C}}\left(\mathbb{C}^{2}\right)}
  \def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}}
  \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}
  
  $ $\pccd$ selon le modèle: \[ z\mapsto\phi\left(z\right)\simeq\dfrac{pz+s_{2}-s_{3}\overline{p}-s_{1}p}{z-p} \] Si l'on s'intéresse à $\Phi_{b},$ il faut commencer par parler de $\Phi_{z}$ qui agit sur $\pcct$. Notons le point $P$ par $z:t:\zeta$, et non pas $p:1:\overline{p}$. On a \[ \Phi_{z}\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)\doteq\left(\begin{array}{c} s_{3}\,\left(\vt\zeta-\vzz\,t\right)\left(\vt s_{1}\,z+\vt s_{3}\,\zeta-\vt s_{2}\,t-\vz z\right)\\ \left(\vt z-\vz t\right)s_{3}\,\left(\vt\zeta-\vzz\,t\right)\\ \left(\vt z-\vz t\right)\left(\vt s_{2}\,\zeta+\vt z-\vt s_{1}\,t-\vzz\,s_{3}\,\zeta\right) \end{array}\right) \] qui est une transformation de Cremona involutive. Ses points d'indétermination sont $P$ et les deux ombilics. Son lieu exceptionnel est formé par la droite de l'infini et les isotropes de $P$.
  
  $\,$
• Maintenant que l'essentiel est fait, il reste à utiliser les matrices aller et retour selon$
  
  \def\lubo{\boxed{Lu}}
  \def\luret{\boxed{Lu^{-1}}}
  \def\etc{,\:\mathrm{etc}}
  \def\slov{\mathcal{S}}
  \def\equi{\mathcal{E}}
  \def\pilpt{\Omega}
  \def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}}
  \def\ptv{~;~} \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}}
  \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}}
  
  $ \[ \left(\begin{array}{c} z\\ t\\ \zeta \end{array}\right)=\lubo\cdot\left(\begin{array}{c} p\\ q\\ r \end{array}\right)\ptv\Phi_{b}\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z' \end{array}\right)=\luret\cdot\Phi_{z}\left(\lubo\cdot\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z' \end{array}\right)\right) \] et à remplacer $\alpha,\beta,\gamma$ par les valeurs adhoc (issues des formules d'Al Kashi). On obtient: $\Phi_{b}\left(x:y:z\right)\simeq$ \[ \left[\begin{array}{c} 2\,p\left(\Sb\,q+\Sc\,r-\Sa\,p\right)yz-a^{2}qrx^{2}-p\left(b^{2}p+b^{2}q-c^{2}q\right)z^{2}-p\left(c^{2}p+c^{2}r-b^{2}r\right)y^{2}+\left(b^{2}pr+c^{2}pq-a^{2}qr\right)\left(xy+xz\right)\\ 2\,q\left(\Sa\,p+\Sc\,r-S_{b}\,q\right)zx-b^{2}rpy^{2}-q\left(c^{2}q+c^{2}r-a^{2}r\right)x^{2}-q\left(a^{2}p+a^{2}q-c^{2}p\right)z^{2}+\left(a^{2}qr+c^{2}pq-b^{2}pr\right)(yz+yx)\\ 2\,r\left(\Sa\,p+\Sb\,q-\Sc\,r\right)yx-c^{2}pqz^{2}-r\left(a^{2}p+a^{2}r-b^{2}p\right)y^{2}-r\left(b^{2}q+b^{2}r-a^{2}q\right)x^{2}+\left(a^{2}qr+b^{2}pr-c^{2}pq\right)\left(zx+zy\right) \end{array}\right] \] formule sur le modèle "tu l'as voulu, eh bien tu l'as eu".
  
  $\,$
• On peut vérifier que $\Phi_{b}$ est involutive (au sens de Cremona), que les points de $\linf$ arrivent tous sur $P$, que $\Phi_{b}\left(A\right)=A_{1}$ etc. Et même que $\Phi_{b}\left(H\right)$ est sur le circonscrit.
  
  $\,$
• Rappelons que l'utilisation de $\Phi_{z}$ ou de $\Phi_{b}$ est indispensable si l'on veut calculer quoi que ce soit. En effet, il serait dommage d'envoyer au massacre quelques agreg à tifs en leur suggérant de parler du conjugué d'une variable polynomiale. Le conjugué d'un marque-ta-place ! Horresco referens ! L'axiome "ne cherche pas à comprendre, c'est de la logique" ne s'applique qu'à la logique. Tandis qu'ici, il serait utile de comprendre que l'on a développé tout ce barnum pour rester holomorphe. Ce n'est donc pas le moment d'utiliser $z\mapsto\overline{z}$ !
  
  $\,$
• Pour ce qui est de la LFIT induite, une méthode simple pour la faire apparaître est la suivante. On trace en gras le cercle des 7 points qui en contient 10, dont les points $A_{3}B_{3}C_{3}$. On bat des mains et on dit c'est le cercle de Miquel! On avait fait exprès d'appeler $A_{3}$ par $A_{1+2}$. Mais c'est le moment de remarquer qu'appeler $O_{a}$ le centre du cercle $PB_{2}C_{2}$ n'était peut être pas la meilleure idée. Rebaptisons-le $D_{a}$. Et utilisons le $O_{a}$ qui vient d'être libéré comme alias pour le point $A_{3}\etc$.
  
  $\,$
• Et alors, secundum scripturas, on prend un point mobile $M_{t}$ sur le cercle de Miquel. On dit: c'est le point de Miquel! On trace les cercles $\gamma_{a}\doteq\left(AO_{a}M_{t}\right)\etc.$ On dit: ce sont les cercles de Miquel! (on notera que $le\neq les$). On constate alors que les cercles de Miquel se recoupent sur les côtés du triangle $ABC$, définissant le triangle inscrit $a_{t}b_{t}c_{t}$. LFIT!
  
  $\,$
• On peut donc se lancer dans les identifications pour trouver les $f,g,h,u,v,w$ tels que \[ A_{3}\doteq\left[\begin{array}{c} -a^{2}qr+b^{2}pr+c^{2}pq\\ \left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)rq\\ \left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)rq \end{array}\right]\simeq O_{a}\doteq\left[\begin{array}{c} a^{2}gh-b^{2}hu-c^{2}gu\\ \left(-g-h+u\right)hb^{2}\\ c^{2}g\left(-g-h+u\right) \end{array}\right] \] On peut aussi remarquer que les points $a_{t}b_{t}c_{t}$ vont à l'infini lorsque $M_{t}$ se rapproche de $H$. Cela suggère fortement que $\slov=H^{*}=O$. Le calcul le confirme.
  
  $\,$
• Pour ce qui est de l'équicentre, on peut finir l'identification précédente. On peut aussi utiliser la définition: \[ \equi\simeq\left(f\,a_{t}+g\,b_{t}+h\,c_{t}\right)/\left(f+g+h\right) \] On peut même déterminer le point fixe $P_{a}$ de la droite $M_{t}a_{t}$ (on en trace deux). Et alors $\equi$ est le point commun aux droites $O_{a}P_{a}$. Dans tous les cas, on vérifie que $\equi$ est le centre du cercle de Miquel (ce qui n'est pas le cas général). On trouve \begin{eqnarray*} \slov & = & \left(a^{2}qr+b^{2}pr+c^{2}pq\right)\left(\begin{array}{c} a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\\ b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)\\ c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) \end{array}\right)\\ \equi & = & 2\,\left(\begin{array}{c} \left(b^{2}pr+c^{2}pq\right)\left(4\,S^{2}+\Sb\,\Sc\right)-a^{4}qr\Sa\\ \left(a^{2}qr+c^{2}pq\right)\left(4\,S^{2}+\Sc\,\Sa\right)-b^{4}\Sb\,pr\\ \left(a^{2}qr+b^{2}pr\right)\left(4\,S^{2}+\Sb\,\Sa\right)-c^{4}\Sc\,pq \end{array}\right) \end{eqnarray*} On sera attentif à ne pas supprimer les facteurs de synchronisation, permettant que $f+g+h=u+v+w$.
  
  $\,$
• Et on trace la conique pilier. En vert pomme, couleur d'espérance. Pour affirmer que l'on espère bien s'en servir à un moment ou un autre!