Métrique riemannienne

Bonjour de l'aide pour l’exercice suivant s'il vous plaît.

Soit $g$ une métrique riemannienne sur l'ouvert $U \subset \mathbb {R^n}$, $\bar{g}$ est la métrique standard sur $\mathbb {R^n}$.
Soit $K \subset U$ compact $L=\{(x,v): x \in K ,\ |v|_{\bar{g}_x}=1\}$.
1) Montrer qu'ils existent deux constantes $c$ et $c'$ deux constantes strictement positives telles que $c \le|v|_{\bar{g_x}} \le c'$.

Merci pour l'aide. Voilà mon idée.
Soit $(x,v) \in L$ alors $x \in K$ et $|v|_{\bar{g_x}}=1$ donc $v \in S_{\bar{g}_x} ^{n-1}=\{ v \in T_x\mathbb {R^n},\ |v|_{\bar{g_x}}=1\}$. Comme $T_x \mathbb {R^n}$ est un espace vectoriel de dimension finie alors $S_{\bar{g}_x} ^{n-1}$ est un compact car fermé ($|\cdot|_{\bar{g}_x}$ est continue) et borné. Comme $|\cdot|_{g_x}$ est continue sur $T_x \mathbb {R^n}$ on en déduit qu'il est borné sur le compact $S_{\bar{g}_x} ^{n-1}$ donc il existe $u$ et $v$ dans $S_{\bar{g}_x} ^{n-1}$ telles que $\inf _{w\in S_{\bar{g}_x} ^{n-1}}|w|_{g_x}=|u|_{g_x}$ et $\sup _{w\in S_{\bar{g}_x} ^{n-1}}|w|_{g_x}=|v|_{g_x}$. Comme $o$ n'appartient pas à $S_{{\bar{g}_x}}^{n-1}$ et que $|\cdot|_{g_x}$ est une norme sur $T_x\mathbb {R^n} $ alors $|u|_{g_x}>0$ et $|v|_{g_x}>0$.
J'espère être sur la bonne voie afin de voir comment utiliser la compacité de $K$ pour conclure.