Un joli exercice
dans Géométrie
Bonjour,
En cette période de confinement je me permets de vous partager un exercice de géométrie, assez classique mais très joli.
Soit $ABC$ un triangle, $\Gamma$ son cercle circonscrit et soient $t_B$ et $t_C$ les tangentes à $\Gamma$ respectivement en $B$ et $C$. On note $D$ l'intersection de $t_B$ et $t_C$, montrer que $(AD)$ est la symédiane issue de $A$ du triangle $ABC$ (dans le cas où $t_B//t_C$ on considérera que $(AD)$ est la parallèle aux tangentes passant par $A$).
Quentin H.
En cette période de confinement je me permets de vous partager un exercice de géométrie, assez classique mais très joli.
Soit $ABC$ un triangle, $\Gamma$ son cercle circonscrit et soient $t_B$ et $t_C$ les tangentes à $\Gamma$ respectivement en $B$ et $C$. On note $D$ l'intersection de $t_B$ et $t_C$, montrer que $(AD)$ est la symédiane issue de $A$ du triangle $ABC$ (dans le cas où $t_B//t_C$ on considérera que $(AD)$ est la parallèle aux tangentes passant par $A$).
Quentin H.
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Réponses
Je dirais plutôt que ton exercice était autrefois une question de cours!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Dans son message pappus exagère. Moi j'ai eu mon bac Math-Elem en 1962, eh bien on ne savait pas ce que sont les symédianes, ce n'était pas du tout une « question de cours », ce l'était peut-être vingt ou trente ans auparavant, à l'époque de Papelier, mais pappus n'est pas si âgé je pense.
Je trouve admirable qu'un élève de Terminale les connaisse aujourd'hui et apprécie la beauté d'une telle propriété et on ne peut que l'en féliciter. Ne t'en fais donc pas, quentinh21, l'intervention de pappus ne signifie pas que ce résutat soit « aussi connu », elle signifie qu'il est connu de lui et de deux ou trois géomètres hors du commun, mais pour le reste du monde mathématique, tu as bien fait de nous l'offrir.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Soit $A,B,C,D$ quatres points cocycliques, et soient $E$ le point d'intersection de $(AD)$ et $(BC)$, $F$ le point d'intersection de $(AC)$ et $(BD)$, $M$ le milieu de $[CD]$. Soit $N$ le point du cercle circonscrit de $AMB$ distinct de $M$ vérifiant $\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AN}{BN}$, alors montrer que les points $E,F,N$ sont alignés.
Je suis assez vieux pour avoir appris la géométrie au lycée dans le Lebossé-Hémery, classe de Mathématiques.
Ci-dessous le petit extrait suivant (page 226) que chacun appréciera!
C'était bien une question de cours!
Amicalement et sans rancune!
[small]p[/small]appus
A l'époque, j'étais dans un des meilleurs lycée de France, celui de La Flèche et je te prie de croire que notre prof, le fameux Pilou (Fatz) non seulement nous avait fait voir les symédianes mais aussi avait enseigné aux meilleurs d'entre nous les fondements de la géométrie circulaire.
Le second exercice de Quentinh21 n'est difficile que parce que la définition du point $N$ est volontairement obscure.
Elle entraîne simplement que le quadrangle $ABMN$ est un défunt quadrangle harmonique.
Je vais faire mon raisonnement dans le cas particulier où le point $G=AB\cap CD$ est extérieur au cercle $\Gamma$ contenant les points $A$, $B$, $C$, $D$.
Le cercle $\gamma$ de diamètre $OG$ coupe $\Gamma$ aux points $U$ et $V$ qui sont les points de contact des tangentes issues du point $G$ à $\Gamma$.
La droite $UV$ est donc la polaire de $G$ qui contient aussi les points $E$ et $F$ d'après une construction classique de la polaire.
Ce cercle $\gamma$ passe par le milieu $M$ de $CD$ et par le milieu $P$ de $AB$.
Son image par la cycline involutive (transposition circulaire) $\tau$ de points fixes $A$ et $B$ est donc une droite $L=\tau(\gamma)$
D'autre part le quadrangle $ABUV$ est harmonique puisque le pôle $G$ de $UV$ est situé sur $AB$.
Donc $\tau$ échange $U$ et $V$.
Ainsi $L=UVEF$ est la polaire de $G$
Enfin $M\in \gamma$ et $\tau(M)=N$ puisque le quadrangle $ABMN$ est harmonique.
Donc $N\in L=UVEF$.
Il doit y avoir un raisonnement valable dans tous les cas de figure mais pour le moment j'ai surtout envie d'aller faire dodo.
Donc bonne nuit à tous et faites de beaux rêves!
Amicalement
[small]p[/small]appus
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le point d'Exeter.pdf p. 22-24
Sincèrement
Jean-Louis
j'ai connu le Prytanée en Math. sup avec comme professeur Rivière...un moulin à parole...
En fin d'année, j'ai continué en spé A' au lycée Thiers de Marseille...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le theoreme de Reim aux Armees.pdf
Avec toutes mes amitiés
Jean-Louis
La Sarthe a besoin de vous. Mangez des rillettes.
A part cela, il semble utile de signaler que le point de Lemoine est invariant par projection. Si vous prenez la photo d'un cercle, le résultat n'est pas un cercle, mais une ellipse. Le centre de cette ellipse n'est pas l'image du centre du cercle. Par contre le point de Lemoine de l'ellipse est l'image du point de Lemoine du cercle. Et cela suffit à déterminer l'ellipse image.
Cordialement, Pierre.
Voici le raisonnement à faire dans le cas général.
Sur la figure ci-dessous, (tous les points sont dans la limite de l'épure, essayez de faire la même chose!), je me suis arrangé pour que $G=AB\cap CD$ soit situé à l'intérieur de $\Gamma$.
Plus question d'utiliser les points $U$ et $V$ qui n'existent plus, il faut trouver deux autres points, évidents d'ailleurs puisqu'ils sont sur la figure, à savoir les points $G$ et $O$.
$G'=\tau(G)$ est simplement le conjugué harmonique de $G$ par rapport aux points $A$ et $B$, il est donc situé sur la polaire $L=EF$ de $G$. C'est tout simplement $L\cap AB$
Pour le point $O$, c'est à peine plus difficile à condition d'avoir quelques connaissances sur les quadrangles harmoniques.
Le triangle $AOB$ est isocèle et il en résulte que $O'=\tau(O)$ est le point diamétralement opposé à $O$ sur le cercle $(AOB)$.
Par suite $O'$ est le point inverse de $P$ par rapport à $\Gamma$, ce qui entraine que $O'\in L$ car il était bien connu que $\gamma$ et $L$ s'échangeaient dans l'inversion par rapport à $\Gamma$
$QED$
Par acquit de conscience, j'ai tracé en rouge la définition aberrante du point $N$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Ma mère me donnait une plaquette de beurre, un pot de rillettes et une tablette de chocolat pour tenir le trimestre.
A la fin tout cela ne sentait plus très bon!
Par mesure de précautions, je croquais la tablette en entier dans le train qui m'amenait à La Flèche.
C'était toujours cela de pris sur mes petits camarades!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le point de Lemoine est le perspecteur du cercle circonscrit, c'est plus ou moins ce que voulait montrer Quentinh21.
Si tu fais une transformation projective ou plus simplement si tu oublies (le fameux foncteur d'oubli!), les structures affine et euclidienne, il perd son statut de point de Lemoine mais il conserve son glorieux rôle de perspecteur.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Cordialement, Pierre.
Ce n'est pourtant pas faute d'en parler!
Je les utilise dans un fil voisin avec comme toujours figures et calculs à l'appui!
Visiblement tu ne les lis pas!
Si tu ne comprends pas une notion, c'est à toi de poser les questions nécessaires en temps utile!
J'avoue ne pas aimer ce néologisme de perpecteur copié de l'anglais: perspector.
Auparavant j'utilisais la locution: centre de perspective.
Nous vivons à une époque où il faut aller vite mais les anglais nous battront toujours sur le plan de la concision!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pour chaque conique propre, il existe (au moins) un repère de $\mathbb P _\mathbb{C} \left(\mathbb C ^3\right)$ dans lequel son équation est $xz-y^2=0$. Cette propriété est la clef de la plupart des démonstrations. C'est aussi la base de la procédure locusconi.
On appelle triangle polaire d'un triangle donné le triangle dont les sommets sont les conipôles des côtés du triangle d'origine. Et alors ou bien les deux triangles sont égaux (triangle auto-polaire) ou bien ils sont en perspective. Cela fournit un perspecteur, et une perspectrice.
Le lecteur est prié de se remuer les méninges et de comprendre par lui même si l'on examine la configuration à conique constante (on parle alors du perspecteur du triangle) ou bien à triangle constant (triangle de référence). On parle alors du perspecteur de la conique.
Cordialement, Pierre.
Ils sont $\textbf{en perspective}$ quand les intersections des droites $AB$ et $ab$, $AC$ et $ac$, $BC$ et $bc$ sont alignées sur $\textbf{l'axe de perspective}$.
Les droites $Aa$, $Bb$ et $Cc$ se coupent en un point appelé $\textbf{perspecteur}$ ou plus joliment $\textbf{centre de perspective}$.
...
Bien cordialement
JLB
>>pappus:
Tu fais souvent allusion à un certain "pilou"; j'ai eu comme professeur de mathématiques un Monsieur Fatz en sup au lycée Corneille de Rouen en 1974.
Se pourrait-il qu'il s'agisse du même homme ?
Amicalement.
C'est possible!
C'était un très jeune agrégé quand je l'ai eu comme enseignant et toi tu l'aurais eu à la fin de sa carrière!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici un exemple de géométrie projective où interviennent les perspecteurs. ll est possible qu'il ait déjà été traité sur ce forum.
Soient deux triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
Soient $A'=B_1C_1 \cap B_2C_2,\: B'=C_1A_1 \cap C_2A_2, \: C'=A_1B_1 \cap A_2B_2$.
Supposons que le triangle $A'B'C'$ soit en perspective avec le triangle $A_1B_1C_1$ de même qu'avec le triangle $A_2B_2C_2$ avec pour centres de perspective respectifs $D_1$ et $D_2$.
Montrer que les points $A_1, B_1, C_1, D_1, A_2, B_2, C_2, D_2$ sont sur une même conique.
...
Encore grand merci, et bonne journée.
Fr. Ch.
La meilleure référence est le glossaire de Pierre mais il est en anglais!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Bonne journée.
Fr. Ch.
en respectant la beauté de la langue française.
"Perspecteur" n'est pas très poétique,
il m'évoque le fisc et ses sbires.
Nous avions le centre de perspective...
J'eusse vu deux triangles perspectifs de centre O
ou desarguiens de droite $d$.
Bien sûr, je ne suis francophone ni de mère ni de père.
La notion de perspecteur est certes ésotérique mais on la trouve déjà chez Chasles dans son Traité des sections coniques (1865, réédité chez Gabay). Elles est aussi évoquée dans le livre Coniques projectives, affines et euclidiennes de Bruno (C&M) et dans le Géométrie projective de Sidler (Dunod, hélas épuisé depuis perpète).
Pour ce qui est de la po et zie, on pourrait aussi militer pour dire hortocentre au lieu de orthocentre: musarder dans un jardin est bien supérieur à la rectitude angulaire.
Cordialement, Pierre.