Un joli exercice

En effet j’aime appeler les géomètres du forum mes géo-maîtres ;-)

Bonne Nuit à tous
Je suis assez vieux pour avoir appris la géométrie au lycée dans le Lebossé-Hémery, classe de Mathématiques.
Ci-dessous le petit extrait suivant (page 226) que chacun appréciera!
C'était bien une question de cours!
Amicalement et sans rancune!
[small]p[/small]appus

Mon cher Chaurien
A l'époque, j'étais dans un des meilleurs lycée de France, celui de La Flèche et je te prie de croire que notre prof, le fameux Pilou (Fatz) non seulement nous avait fait voir les symédianes mais aussi avait enseigné aux meilleurs d'entre nous les fondements de la géométrie circulaire.
Le second exercice de Quentinh21 n'est difficile que parce que la définition du point $N$ est volontairement obscure.
Elle entraîne simplement que le quadrangle $ABMN$ est un défunt quadrangle harmonique.
Je vais faire mon raisonnement dans le cas particulier où le point $G=AB\cap CD$ est extérieur au cercle $\Gamma$ contenant les points $A$, $B$, $C$, $D$.
Le cercle $\gamma$ de diamètre $OG$ coupe $\Gamma$ aux points $U$ et $V$ qui sont les points de contact des tangentes issues du point $G$ à $\Gamma$.
La droite $UV$ est donc la polaire de $G$ qui contient aussi les points $E$ et $F$ d'après une construction classique de la polaire.
Ce cercle $\gamma$ passe par le milieu $M$ de $CD$ et par le milieu $P$ de $AB$.
Son image par la cycline involutive (transposition circulaire) $\tau$ de points fixes $A$ et $B$ est donc une droite $L=\tau(\gamma)$
D'autre part le quadrangle $ABUV$ est harmonique puisque le pôle $G$ de $UV$ est situé sur $AB$.
Donc $\tau$ échange $U$ et $V$.
Ainsi $L=UVEF$ est la polaire de $G$
Enfin $M\in \gamma$ et $\tau(M)=N$ puisque le quadrangle $ABMN$ est harmonique.
Donc $N\in L=UVEF$.
Il doit y avoir un raisonnement valable dans tous les cas de figure mais pour le moment j'ai surtout envie d'aller faire dodo.
Donc bonne nuit à tous et faites de beaux rêves!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Cher Pappus, cher Brution,

j'ai connu le Prytanée en Math. sup avec comme professeur Rivière...un moulin à parole...
En fin d'année, j'ai continué en spé A' au lycée Thiers de Marseille...

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le theoreme de Reim aux Armees.pdf

Avec toutes mes amitiés
Jean-Louis

Bonjour à tous
Voici le raisonnement à faire dans le cas général.
Sur la figure ci-dessous, (tous les points sont dans la limite de l'épure, essayez de faire la même chose!), je me suis arrangé pour que $G=AB\cap CD$ soit situé à l'intérieur de $\Gamma$.
Plus question d'utiliser les points $U$ et $V$ qui n'existent plus, il faut trouver deux autres points, évidents d'ailleurs puisqu'ils sont sur la figure, à savoir les points $G$ et $O$.
$G'=\tau(G)$ est simplement le conjugué harmonique de $G$ par rapport aux points $A$ et $B$, il est donc situé sur la polaire $L=EF$ de $G$. C'est tout simplement $L\cap AB$
Pour le point $O$, c'est à peine plus difficile à condition d'avoir quelques connaissances sur les quadrangles harmoniques.
Le triangle $AOB$ est isocèle et il en résulte que $O'=\tau(O)$ est le point diamétralement opposé à $O$ sur le cercle $(AOB)$.
Par suite $O'$ est le point inverse de $P$ par rapport à $\Gamma$, ce qui entraine que $O'\in L$ car il était bien connu que $\gamma$ et $L$ s'échangeaient dans l'inversion par rapport à $\Gamma$
$QED$
Par acquit de conscience, j'ai tracé en rouge la définition aberrante du point $N$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Pierre
Ma mère me donnait une plaquette de beurre, un pot de rillettes et une tablette de chocolat pour tenir le trimestre.
A la fin tout cela ne sentait plus très bon!
Par mesure de précautions, je croquais la tablette en entier dans le train qui m'amenait à La Flèche.
C'était toujours cela de pris sur mes petits camarades!
Amicalement
[small]p[/small]appus

@ Chaurien. L'intérêt principal du point de Lemoine d'un triangle est d'être utile pour étudier le cercle circonscrit à ce triangle. C'est cela le "message" que je veux faire passer. Un message plus précis aurait été: le point de Lemoine d'un triangle est le perspecteur du cercle circonscrit. Mais cela supposerait de décrire ce qu'est un perspecteur: la place de la deuxième étape est après la première.

Cordialement, Pierre.

Mon cher Chaurien
Ce n'est pourtant pas faute d'en parler!
Je les utilise dans un fil voisin avec comme toujours figures et calculs à l'appui!
Visiblement tu ne les lis pas!
Si tu ne comprends pas une notion, c'est à toi de poser les questions nécessaires en temps utile!
J'avoue ne pas aimer ce néologisme de perpecteur copié de l'anglais: perspector.
Auparavant j'utilisais la locution: centre de perspective.
Nous vivons à une époque où il faut aller vite mais les anglais nous battront toujours sur le plan de la concision!
Amicalement
[small]p[/small]appus

On a $ABC$ et $abc$ deux triangles d'un même plan.
Ils sont $\textbf{en perspective}$ quand les intersections des droites $AB$ et $ab$, $AC$ et $ac$, $BC$ et $bc$ sont alignées sur $\textbf{l'axe de perspective}$.

Les droites $Aa$, $Bb$ et $Cc$ se coupent en un point appelé $\textbf{perspecteur}$ ou plus joliment $\textbf{centre de perspective}$.
...

Bonjour à tous,

>>pappus:

Tu fais souvent allusion à un certain "pilou"; j'ai eu comme professeur de mathématiques un Monsieur Fatz en sup au lycée Corneille de Rouen en 1974.
Se pourrait-il qu'il s'agisse du même homme ?

Amicalement.

Jelobreuil: les définitions sont assez simples finalement ! C'est leur utilisation pertinente dans des exercices qui peut vite devenir nébuleuse ! Je parle pour moi uniquement bien sûr.
Voici un exemple de géométrie projective où interviennent les perspecteurs. ll est possible qu'il ait déjà été traité sur ce forum.

Soient deux triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
Soient $A'=B_1C_1 \cap B_2C_2,\: B'=C_1A_1 \cap C_2A_2, \: C'=A_1B_1 \cap A_2B_2$.
Supposons que le triangle $A'B'C'$ soit en perspective avec le triangle $A_1B_1C_1$ de même qu'avec le triangle $A_2B_2C_2$ avec pour centres de perspective respectifs $D_1$ et $D_2$.
Montrer que les points $A_1, B_1, C_1, D_1, A_2, B_2, C_2, D_2$ sont sur une même conique.
...

Mon cher Chaurien
La meilleure référence est le glossaire de Pierre mais il est en anglais!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci à nos géomètres de m'avoir patiemment répondu. Mais je m'étonne qu'aucun ouvrage existant, en français, en anglais ou autre, ne présente ces notions.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Bonjour Chaurien,

La notion de perspecteur est certes ésotérique mais on la trouve déjà chez Chasles dans son Traité des sections coniques (1865, réédité chez Gabay). Elles est aussi évoquée dans le livre Coniques projectives, affines et euclidiennes de Bruno (C&M) et dans le Géométrie projective de Sidler (Dunod, hélas épuisé depuis perpète).