Un triangle isocèle inattendu
dans Géométrie
Bonjour,
1. (X), (Y) deux cercles sécants
2. P, Q, les points d'intersection de (X) et (Y)
3. A un point de (X)
4. B le second point d'intersection de (AP) avec (Y),
5. C le second point d'intersection de (BQ) avec (X)
6. D le second point d'intersection de (CP) avec (Y)
7. E le second point d'intersection de (DQ) avec (X).
Question : le triangle CAE est C-isocèle.
Sincèrement
Jean-Louis
1. (X), (Y) deux cercles sécants
2. P, Q, les points d'intersection de (X) et (Y)
3. A un point de (X)
4. B le second point d'intersection de (AP) avec (Y),
5. C le second point d'intersection de (BQ) avec (X)
6. D le second point d'intersection de (CP) avec (Y)
7. E le second point d'intersection de (DQ) avec (X).
Question : le triangle CAE est C-isocèle.
Sincèrement
Jean-Louis
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Voici ta figure!
Soit $s$ la similitude directe de centre $Q$ envoyant le centre $X$ sur le centre $Y$ et $s'$ la similitude directe de centre $P$ envoyant le centre $X$ sur le centre $Y$
Alors il était bien connu autrefois (question de cours du Lebossé-Hémery à retrouver!) que:
$B=s(A)$, $C=s'(B)$, $D=s(C)$ et $E=s'(D)$
Le produit des similitudes $r=s.s'$ est une similitude directe qui conserve le cercle $(X)$ c'est donc une rotation de centre $X$.
$C=r(A)$ et $E=r(C)$
Résultat des courses:
$CE=r(AC)$ et comme une rotation conserve les longueurs, (est-ce encore enseigné? J'en doute!!), $AC=CE$
QED
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Yeah, j'ai réussi à faire un exo de Jean-Louis, il serait bien temps!
Georges Perec avait réussi lui aussi un véritable tour de force dans son roman: La disparition.
Plus modestement, qu'ai-je fait disparaître dans ce petit message?
et une solution sans transformation?
Sincèrement
Jean-Louis
Je crains qu'une chasse aux angles évidente soit également proscrite, mais sait-on jamais.
$\left( AC,AE\right) =(QC,QE)=\left( QB,QD\right) =\left( PB,PD\right) =\left( PA,PC\right) =\left( EA,EC\right) $
Bien cordialement. Poulbot
Je savais que tu me dirais cela!
Eh bien je te réponds qu'il faudra aller la chercher sur ton site!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Anciens et Melons
Chantons le Huron!
PS
Ci dessous
Lebossé-Hémery, page 150, article 244
merci pour votre contribution angulaire...
Il est possible de se passer du formalisme des angles...et d'envisager une aération comme cela été le cas en passant des vecteurs aux tableaux barycentriques...
Sincèrement
Jean-Louis
C'est pourtant simple!
J'ai réussi (?) à parler de similitudes directes sans parler d'angles, ces maudits angles utilisés par Poulbot et que Jean-Louis semble détester (?) comme moi (?)!
Moins on parle d'angles et mieux on se porte!
Amicalement
[small]p[/small]appus
quel résultat pour éviter les angles (que je ne déteste pas)?
Sincèrement
Jean-Louis
Je t'ai déjà fait remarquer que je n'avais utilisé aucun angle!
Peux-tu au moins nous dire les notions que tu utilises?
Amicalement
[small]p[/small]appus
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le theoreme de Reim 1.pdf p. 5-6.
Sincèrement
Jean-Louis
Le théorème de Reim apparaît évidemment dans le Lebossé-Hémery sans son nom évidemment, pages 37-38, article 61 concernant les droites antiparallèles.
La figure $65$ est celle du théorème de Reim qui se démontre via les angles orientés comme il se doit.
D'un point de vue moderne, la correspondance $Ax \longleftrightarrow By; C\leftrightarrow D$ est affine dans laquelle le point $O=Ax\cap By$ (non tracé dans la figure $65$ de LH) se correspond à lui même.
Amicalement
[small]p[/small]appus
ABCDEFGH... Z
Les côtés de la ligne ACEGI... ont la même longueur, ceux de la ligne BDFHJ... aussi.
(1) Généralement F $\neq$ A ; quand est-ce le cas ?
(2) Si c'est le cas, pourquoi les deux triangles équilatéraux
semblent ils homothétiques ?
(3) Quid des grandes diagonales de ABCDEF ?
(4) Il faudrait rendre calculable simplement l'application X $\mapsto$ Y
où X appartient au premier cercle, Y au second , la droite XY passant par P (ou Q ).