Un joli théorème

Bonjour,
un joli problème..toujours d'actualité...avec une visualisation personnelle...

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Papillon.pdf

Sincèrement
Jean-Louis

Bonjour à tous
Je vais donc redémontrer pour la énième fois le théorème du papillon par des techniques de géométrie projective qui sont les plus naturelles.
La figure ci-dessous montre une conique $\Gamma$ du plan affine avec dessus quatre points donnés $m$, $m'$, $p$, $q$.
$L$ est la droite $pq$.
Le point $r$ est variable sur $\Gamma$
Les points $u=mr\cap L$ et $v=m'r\cap L$ sont en homographie sur la droite $L$. Autrement dit il existe une transformation projective $\varphi$ de $L$ telle que:
$$v=\varphi(u)$$
Les points fixes de $\varphi$ sont les points $p$ et $q$.
Il en résulte que le birapport $(p,q,u,v)$ est constant.
En fait:
$$(p,q,u,v)=(p,q,m,m')_{\Gamma}$$
où le membre de droite est le birapport des points $p$, $q$, $m$, $m'$ sur la conique $\Gamma$
On complète alors le papillon $msm'r$ que j'ai rempli en jaune pour qu'on puisse l'admirer.
Il est clair que:
$$w=\varphi(v)$$
Donc:
$$(p,q,u,v)=(p,q,v,w)$$
En identifiant les points de $L$ avec leurs abscisses dans un repère cartésien de $L$ que je vous laisse le plaisir de choisir, on obtient l'identité:
$$\Big(\dfrac{v-p}{v-q}\Big)^2=\dfrac{u-p}{u-q}\times\dfrac{w-p}{w-q}$$
Maintenant, seulement maintenant on suppose que $v$ est le milieu du segment $pq$.
On voit alors que la relation précédente entraîne:
$$u+w=p+q=2v$$
Et ainsi $v$ est aussi le milieu du segment $uw$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Quentinh21 pour ta démonstration qui montre que tu as de solides connaissances en géométrie projective.
Bravo!
Quelques petites critiques cependant que j'espère tu ne prendras pas mal.
La plupart de tes lecteurs n'ont que de vagues notions de géométrie projective et quand tu leur assènes le troisième théorème de Desargues, ça leur fait une belle jambe vu qu'ils n'en ont jamais entendu parler.
Il vaut mieux donner son énoncé:
On a un faisceau de coniques à points de base $A$, $B$, $C$,$D$.
On coupe ce faisceau justement par la droite $d$, chaque conique $\gamma$ de ce faisceau coupe $d$ en une paire de points $(m,m')$ et quand la conique $\gamma$ varie, la correspondance $m\leftrightarrow m'$ est une involution projective de la droite $d$.
Les coniques $\gamma$ que tu utilises sont d'abord le cercle qui fournit la paire $(X,Y)$, la conique décomposée $AD\cup BC$ qui fournit la paire $(P,Q)$ et enfin la conique décomposée $AC\cup BD$ qui fournit la paire $(M,M)$.
On sait qu'une involution projective a deux points fixes. On en connait un le point $M$, il faut trouver l'autre.
Là il ne faut pas se mélanger les pinceaux comme tu l'as fait car tu travailles dans le plan (euclidien) complété projectivement.
Appelons $M'$ le second point fixe.
La donnée de ses deux points fixes définit complètement une involution car si $(m,m')$ est une paire de points homologues, on a $(M,M',m,m')=-1$
Comme on sait que $M$ est le milieu du segment $XY$, son conjugué harmonique par rapport à la paire $(X,Y)$ ne peut être que le point à l'infini de $d$ et c'est seulement à ce moment là qu'on peut conclure que $f$ est une symétrie centrale de centre $M$, (le centre est une notion affine pas projective).
Une involution projective d'une droite n'a pas de centre comme tu l'as dit.
Enfin le cercle n'intervient pratiquement pas dans ta démo sauf pour dire que $M$ est le milieu de $XY$ parce que $d\perp OM$.
En fait c'est dans le cas du cercle que le théorème du papillon a été énoncé.
Ta démonstration est valable pour une conique affine quelconque sans changer un iota de ce que tu nous as dit à condition de modifier légèrement son énoncé qui est le même que celui que j'ai utilisé (sans trop le dire!).
Quel est cet énoncé?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Quentinh21
Je conserve tes notations.
Puisqu'on doit parler de milieux, c'est qu'on travaille dans le plan affine complété projectivement.
Dans ce plan affine, on se donne une conique $\Gamma$ et sur cette conique un quadrangle avec lequel on forme le papillon de ta figure.
On trace une droite $d$ quelconque passant par $M=AC\cap BD$.
On récupère ainsi les points d'intersections $X$ et $Y$ de $d$ avec la conique $\Gamma$ puis $P=d\cap AD$ et $Q=d\cap BC$.
Alors (théorème du papillon): si $M$ est (pour une raison ou une autre) le milieu du segment $XY$, alors il est aussi le milieu du segment $PQ$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Le seul intérêt de l'énoncé circulaire est de se donner la droite $d\perp OM$ sans dire que cela entraîne que $M$ est le milieu de $XY$