Un triangle et des cercles
dans Géométrie
Bonsoir à tous
Soit un triangle ABC et un point P à l'intérieur de ce triangle. Les céviennes de ce point AA1, BB1, CC1 coupent le cercle circonscrit en A2, B2 et C2. A3 est le point symétrique de A1 par rapport à A2, de même pour B3 et C3.
Pourquoi les centres des trois cercles (O1), (O2) et (O3) passant par A1, B1 et C1, A2, B2 et C2, et A3, B3 et C3 sont-ils alignés ?
Il y a un point P particulier pour lequel ces trois cercles sont concentriques, quel est ce point ? Sur la figure jointe, j'ai ajusté approximativement ce point "à la souris", mais comment pourrait-on le construire dans les règles de l'art ?
Il y a aussi trois points P pour lesquels les deux cercles (O2) et (O3) sont tangents en A, B ou C, quels sont ces points ?
Quel est le lieu des points P pour lesquels ces deux cercles sont tangents ?
Merci !
JLB
Soit un triangle ABC et un point P à l'intérieur de ce triangle. Les céviennes de ce point AA1, BB1, CC1 coupent le cercle circonscrit en A2, B2 et C2. A3 est le point symétrique de A1 par rapport à A2, de même pour B3 et C3.
Pourquoi les centres des trois cercles (O1), (O2) et (O3) passant par A1, B1 et C1, A2, B2 et C2, et A3, B3 et C3 sont-ils alignés ?
Il y a un point P particulier pour lequel ces trois cercles sont concentriques, quel est ce point ? Sur la figure jointe, j'ai ajusté approximativement ce point "à la souris", mais comment pourrait-on le construire dans les règles de l'art ?
Il y a aussi trois points P pour lesquels les deux cercles (O2) et (O3) sont tangents en A, B ou C, quels sont ces points ?
Quel est le lieu des points P pour lesquels ces deux cercles sont tangents ?
Merci !
JLB
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Réponses
Les trois centres ne sont pas alignés!
Sais-tu au moins la signification de l'adjectif dynamique dans logiciel de géométrie dynamique?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je vois que je me suis encore emballé, et que j'ai pris mes impressions subjectives pour des réalités ...
Pour ce qui est du sens de "dynamique", disons que je le subodore, mais que je suis bien obligé d'avouer, sans honte aucune, que je suis loin, très loin, de connaître ne serait-ce que les rudiments du maniement d'un tel logiciel, alors je me débrouille avec mes faibles moyens, très limités ... Ne t'agace donc pas, je t'en prie, des stupidités qu'il m'arrive trop souvent d'écrire ici !
Ceci dit, je persiste à penser que si les centres des trois cercles ne s'alignent pas toujours, il existe un lieu de points tels que ces centres sont alignés, et même un ou plusieurs points tels que les cercles sont concentriques ...
Sur les 9 figures jointes, je n'ai fait que déplacer le point P à l'intérieur du triangle, et l'on voit bien que le centre O2 passe d'un côté du segment O1O3 à l'autre côté, lorsqu'on déplace P en continu selon une direction fixe, donc il y a bien un ensemble de points tels que les centres s'alignent ...
Je modifie donc la première question de mon premier message : quel est le lieu des points P tels que les centres des trois cercles sont alignés ?
Bien cordialement
JLB
Quand tu fais une figure avec GeoGeogebra ou toute autre logiciel, une fois la figue achevée, tu peux faire varier certains points et regarder ce qui se passe, c'est aussi bête que cela! Encore faut-il le faire?
C'est cela le sens de dynamique!
Amicalement
[small]p[/small]appus
C'est bien ce que je fais, mais à la main avec la souris ! et je ne sais pas faire autrement ! ou plutôt si, je me suis déjà servi de l'outil "lieu" de Geogebra, mais comment faire, quand d'une part, le point dont dépend le lieu, comme ici, n'est pas assujetti à une ligne du plan, et d'autre part, la condition finale, de nouveau comme ici, n'est que lointainement liée à ce point ?
triangle fixe + point variable => céviennes => points d'intersection des céviennes avec a) les côtés du triangle et b) le cercle circonscrit => points symétriques des points a) par rapport aux points b) => trois cercles passant chacun par trois points => trois centres alignés ...
Cela me paraît un peu compliqué, même pour Geogebra, non ?
Bien amicalement
JLB
j'ai figé approximativement quelque points à l'intérieur d'un triangle pour lesquels les 3 centres sont alignés .
Le lieu correspondant ne semble pas être simple .
Cordialement
fm_31, on dirait une espèce de "deltoïde gauche" avec des points de rebroussement aux trois sommets du triangle ... du moins pour la partie intérieure au triangle ...
Pierre, de degré 15 ? oui, ce n'est pas très surprenant, vu la complexité de la définition vraiment alambiquée que j'en ai donnée ...
Et pour que les trois cercles soit concentriques ? Est-ce un lieu continu, ou un ensemble de points isolés ?
Bien cordialement
JLB