Une aire
Bonsoir,
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle, $r$ le rayon de son cercle inscrit, $r_a, r_b, r_c$ les rayons des cercles exinscrits, $A'B'C'$ un autre triangle dont les côtés ont pour longueurs $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ et $\sqrt{c}.$
Montrer que l'aire de $A'B'C'$ s'exprime en fonction de $r, r_a, r_b, r_c$.
Amicalement
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle, $r$ le rayon de son cercle inscrit, $r_a, r_b, r_c$ les rayons des cercles exinscrits, $A'B'C'$ un autre triangle dont les côtés ont pour longueurs $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ et $\sqrt{c}.$
Montrer que l'aire de $A'B'C'$ s'exprime en fonction de $r, r_a, r_b, r_c$.
Amicalement
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Réponses
Je donne le résultat.
$\dfrac{1}{2}\sqrt{r(r_a+r_b+r_c)}.$
Comment l'obtient-on ?
Amicalement
Alors là ça devient plus simple!
On sort son Lalesco, page 115, 16.451
$$rr_a=(p-b)(p-c)$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici ma solution.
Soit $S'$ l'aire du triangle $A'B'C'$.
D'après la formule de Héron d'Alexandrie, on a :
$16S'^2=((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+(\sqrt{c})^2)^2-2((\sqrt{a})^4+(\sqrt{b})^4+(\sqrt{c})^4)$
soit
$16S'^2=2(ab+ac+bc)-(a^2+b^2+c^2)=4r(r+4R)$
donc :
$S'^2= \dfrac{4r(r+4R)}{16}=\dfrac{r(r+4R)}{4}.$
Par ailleurs, on montre que $r_a+r_b+r_c=r+4R$, ce qui donne :
$r(r_a+r_b+r_c)=r(r+4R)$
et donc :
$\dfrac{r(r_a+r_b+r_c)}{4}=\dfrac{r(r+4R)}{4}.$
Par suite, on a :
$S'^2=\dfrac{r(r_a+r_b+r_c)}{4}$
ce qui conduit à la formule :
$S'=\dfrac{1}{2}\sqrt{r(r_a+r_b+r_c)}.$
Amicalement
Mais ce n'est pas très naturel de passer par $R$ et $r$.
Si on appelle $S'$ l'aire de ton nouveau triangle, on a d'après les formules de Héron:
$$16S'^2=2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c^2$$
On fait le changement de variable:
$$\begin{cases}x=p-a\\y=p-b\\z=p-c\end{cases}$$
qu'on inverse, (est-ce encore au programme?):
$$\begin{cases}a=y+z\\b=z+x\\c=x+y\end{cases}$$
On substitue dans l'expression donnant $S'$ pour obtenir:
$$S'^2=\dfrac{yz+zx+xy}4$$
On applique enfin les formules du Lalesco que j'ai citées pour tomber sur ton expression.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Une solution est une solution. Celle que tu donnes, je la connais.
L'artifice d'utiliser $R$ et $r$ fonctionne pour d'autres problèmes qui viendront.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il reste ensuite à se fier à l'oeil du lynx, aux tables de Lemoine, ou aux bases de Groebner. pour implémenter la procédure simplify. Groebner, ce n'est pas mal: on clique, on prend une gorgée de café, et le résultat est déjà affiché.
Cordialement, Pierre.