Une aire

Bouzar
Bouzar
dans Géométrie
Bonsoir,
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle, $r$ le rayon de son cercle inscrit, $r_a, r_b, r_c$ les rayons des cercles exinscrits, $A'B'C'$ un autre triangle dont les côtés ont pour longueurs $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ et $\sqrt{c}.$
Montrer que l'aire de $A'B'C'$ s'exprime en fonction de $r, r_a, r_b, r_c$.
Amicalement

Réponses

  • Bouzar
    Bouzar
    Bonjour
    Je donne le résultat.
    $\dfrac{1}{2}\sqrt{r(r_a+r_b+r_c)}.$
    Comment l'obtient-on ?
    Amicalement
  • pappus
    pappus
    Merci Bouzar
    Alors là ça devient plus simple!
    On sort son Lalesco, page 115, 16.451
    $$rr_a=(p-b)(p-c)$$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonsoir et merci pappus,
    Voici ma solution.
    Soit $S'$ l'aire du triangle $A'B'C'$.
    D'après la formule de Héron d'Alexandrie, on a :
    $16S'^2=((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+(\sqrt{c})^2)^2-2((\sqrt{a})^4+(\sqrt{b})^4+(\sqrt{c})^4)$
    soit
    $16S'^2=2(ab+ac+bc)-(a^2+b^2+c^2)=4r(r+4R)$
    donc :
    $S'^2= \dfrac{4r(r+4R)}{16}=\dfrac{r(r+4R)}{4}.$
    Par ailleurs, on montre que $r_a+r_b+r_c=r+4R$, ce qui donne :
    $r(r_a+r_b+r_c)=r(r+4R)$
    et donc :
    $\dfrac{r(r_a+r_b+r_c)}{4}=\dfrac{r(r+4R)}{4}.$
    Par suite, on a :
    $S'^2=\dfrac{r(r_a+r_b+r_c)}{4}$
    ce qui conduit à la formule :
    $S'=\dfrac{1}{2}\sqrt{r(r_a+r_b+r_c)}.$
    Amicalement
  • pappus
    pappus
    Merci Bouzar
    Mais ce n'est pas très naturel de passer par $R$ et $r$.
    Si on appelle $S'$ l'aire de ton nouveau triangle, on a d'après les formules de Héron:
    $$16S'^2=2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c^2$$
    On fait le changement de variable:
    $$\begin{cases}x=p-a\\y=p-b\\z=p-c\end{cases}$$
    qu'on inverse, (est-ce encore au programme?):
    $$\begin{cases}a=y+z\\b=z+x\\c=x+y\end{cases}$$
    On substitue dans l'expression donnant $S'$ pour obtenir:
    $$S'^2=\dfrac{yz+zx+xy}4$$
    On applique enfin les formules du Lalesco que j'ai citées pour tomber sur ton expression.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bouzar
    Bouzar
    Mon cher pappus,
    Une solution est une solution. Celle que tu donnes, je la connais.
    L'artifice d'utiliser $R$ et $r$ fonctionne pour d'autres problèmes qui viendront.
    Amicalement
  • etanche
    etanche
    @pappus est-ce que le livre dont vous parlez c’est Lalesco La géométrie du triangle ? Merci.
  • pappus
    pappus
    Vâng à
    [small]p[/small]appus
  • pldx1
    pldx1
    Déjà Lemoine 1900 suggérait d'utiliser $s, r_0, R$ pour obtenir des formules symétriques. D'où le code:
    kitsym1:= {S = r0*sp, c*a*b = P, b+a+c = 2*sp, a*b+a*c+b*c = dd};
kitsym2:= {P = 4*r0*R*sp, dd = 4*R*r0+r0^2+sp^2} ;
kitsym:= U -> subs(kitsym2, simplify(U, kitsym1)) ;

    Il reste ensuite à se fier à l'oeil du lynx, aux tables de Lemoine, ou aux bases de Groebner. pour implémenter la procédure simplify. Groebner, ce n'est pas mal: on clique, on prend une gorgée de café, et le résultat est déjà affiché.

    Cordialement, Pierre.
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