Bonjour
On est dans le plan
A,B,C sont les sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1
f(M)=AM.BM.CM produit des distances AM,BM,CM
D le disque fermé de centre O de rayon 2
Déterminer le maximum de f sur D ?
Merci.
Réponses
On Rescassolise d'abord, (toujours Rescassoliser!) et d'après le principe du maximum (appliqué à quoi et est-il encore enseigné?), il devrait être atteint sur le bord du domaine c'est à dire sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
On calcule le gradient de ta fonction et on écrit qu'il est orthogonal au bord en un point qu'il faut déterminer
Amicalement
[small]p[/small]appus
C’est quelle est la valeur maximale de f sur D ?
Désolé.
J'ai l'impression que le maximum est 9.
On verra ça demain.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Tu n'as qu'à faire le calcul que je te suggère et qu'il faut auparavant justifier.
Comme disait mon adjudant qui me demandait combien de temps ce que je devais faire allait durer, je lui donnais la réponse attendue: cela va durer un certain temps!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Ton calcul est plus simple que le mien.
J'avais oublié la paramétrisation $z=\exp(\imath \theta)$ du divin cercle trigonométrique, le seul cercle qui nous reste encore très provisoirement!
C'est triste le grand âge!
Pour un domaine de rayon $R$, le maximum est atteint aux sommets d'un triangle équilatéral et vaut $R^3+1$ suivant ton calcul qui dure toujours un certain temps!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mais je me demande s’il est possible trouver une solution sans utiliser le principe du maximum et sans les nombres complexes.
Seulement avec des résultats de géométrie plane de collègé et lycée.
Merci
La recherche d'un maximum est d'abord un problème de topologie puis un problème de calcul différentiel.
La géométrie ne peut pas tout sauf pour montrer que trois points sont alignés ou trois droites concourantes!
Amicalement
[small]p[/small]appus
peut-être l'occasion de jouer avec un logiciel dynamique (GeoGebra par exemple)
Cordialement
D'ailleurs pris de quelque doute il a commencé à raturer la moitié de ce qu'il nous avait raconté dans son charabia habituel.
Le maximum de $f$ dans le disque fermé est atteint aux points $A''$, $B''$, $C''$ et vaut $9$ comme l'a dit Chaurien
Quant au minimum de la restriction de $f$ au bord du disque, il est atteint aux points $A'$, $B'$, $C'$ et vaut $7$, toujours par le calcul de Chaurien.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Rappel : on a trois points $A,B,C $ qui sont les sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de centre $O $ et de rayon $1$.
Les affixes de $A,B,C $ sont respectivement les racines cubiques de l'unité $1,j,j^2$.
Pour tout point $M$ du plan, d'affixe $z$, on définit : $f(M)= MA \cdot MB \cdot MC$, qui se traduit comme j'ai dit par : $f(z)=|z-1||z-j||z-j^2|=|z^3-1|$.
Pour tout réel $r>0$, soit $\Gamma (O,r)$ le cercle de centre $O $ et de rayon $r$, soit $D(O,r)$ le disque ouvert de centre de centre $O $ et de rayon $r$, et soit $D'(O,r)$ le disque fermé de centre $O $ et de rayon $r$.
Supposons que $M$ décrit le cercle $\Gamma (O,r)$ ; alors $z=r e^{i \theta}$, $\theta \in \mathbb R$, d'où : $f(z)^2=|r^3 e^{3i \theta}-1|^2=r^6+1-2r^3 \cos 3 \theta$.
Pas besoin de faire une étude de cette fonction de $ \theta$ pour voir qu'elle prend son maximum pour $ \cos 3 \theta=-1$ et que ce maximum est : $r^6+1+2r^3=(r^3+1)^2$, et le maximum de $f(z)$ sur le cercle $\Gamma (O,r)$ est donc $ r^3+1$, et on peut voir en quels points il est atteint, comme les camarades l'ont dit plus haut.
Si maintenant le point $M$ est dans le disque ouvert $D(O,r)$, alors $|z|= \rho <r$, d'où $z \in \Gamma (O, \rho)$, qui implique : $f(z) \le {\rho}^3+1<r^3+1$. Il est ainsi démontré que $f(z)$ a un maximum dans le disque fermé $D'(O,r)$, et que ce maximum est le maximum sur le cercle $\Gamma (O,r)$.
On peut généraliser en remplaçant le triangle équilatéral par un polygone régulier.
Bonne journée, encore et encore froide. Vivement le réchauffement climatique !
Fr. Ch.