Un simple problème

% Jean-Louis Ayme - 30/03/2020 - Un simple problème

clc, clear all, close all;

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a; % Morley circonscrit
bB=1/b;
cB=1/c;

%-----------------------------------------------------------------------

d=a+c-b;    % Point D tel que ABCD soit un parallélogramme
dB=aB+cB-bB;

[h hB]=Orthocentre(d,a,b,dB,aB,bB); % Orthocentre du triangle DAB
h=Factor(h)  % On trouve h = (2*a*b - 3*a*c + 2*b*c - c^2)/(a - c)

[phad qhad rhad]=DroiteParallele(h,a,d,hB,aB,dB); % Parallèle DeltaD à (AD) passant par H
[phab qhab rhab]=DroiteParallele(h,a,b,hB,aB,bB); % Parallèle DeltaB à (AB) passant par H

[pad qad rad]=DroiteDeuxPoints(a,d,aB,dB); % Droite (AD)
[pcd qcd rcd]=DroiteDeuxPoints(c,d,cB,dB); % Droite (CD)

% Points d'intersection de:

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(phad,qhad,rhad,1,a*b,-a-b);   % DeltaD et (AB)
[r rB]=IntersectionDeuxDroites(phad,qhad,rhad,pcd,qcd,rcd);  % DeltaD et (CD)
[q qB]=IntersectionDeuxDroites(phab,qhab,rhab,1,b*c,-b-c);   % DeltaB et (BC)
[s sB]=IntersectionDeuxDroites(phab,qhab,rhab,pad,qad,rad);  % DeltaB et (AD)

p=Factor(p)
q=Factor(q)
r=Factor(r)
s=Factor(s)

% On trouve:
% p = (3*a + c)*(a*b - 2*a*c + b*c)/(a - c)^2
% q = c*(3*a + c)*(a - 2*b + c)/(a - c)^2
% r = (- 5*a^2*c + 2*b*a^2 - 4*a*c^2 + 6*b*a*c + c^3)/(a - c)^2
% s = (a^3 + a^2*c - b*a^2 + 5*a*c^2 - 4*b*a*c + c^3 - 3*b*c^2)/(a - c)^2

Bi=Birapport(p,q,r,s);
BiB=Birapport(pB,qB,rB,sB);

Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné

Pappus a écrit:

Quant à la conique de Rescassol, c'est l'hyperbole équilatère circonscrite au parallélogramme $ABCD$.