Le centre d'un cercle est sur une hauteur

Une solution pour la cocyclicité; elle ne me plait pas trop, j'étais persuadé qu'il y avait du triangle orthique dans l'air.

Faute de mieux, une chasse aux angles.

Les angles marqués droits le sont par hypothèse.
Les points $M,A',A'',B$ sont cocycliques (cercle de diamètre $[MA']$).
Les points $N,A'',A',C$ sont cocycliques (cercle de diamètre $[NA']$).
En angles de droites:
$(MN,MA)=(MA'',MB)=(A'A'',A'B)=(A'A,A'B)=(CA,CB)=(CN,CA'')=(A'N,A'A'')=(A'N,A'A)\;\;[\pi]$

$M,N,A,A'$ sont cocycliques.

Le centre va attendre un peu...

Bonsoir à tous,
Utilisons les coordonnées barycentriques.
$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
$A'\simeq\left[\begin{array}{c} -a^4 + (b^2 - c^2)^2\\ 2 b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ 2 c^2 (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right].$
$A''\simeq\left[\begin{array}{c} 0\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ c^2 (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right].$
$M\simeq\left[\begin{array}{c} (b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2)\\ -2 a^2 b^2\\ 0\end{array}\right].$
$N\simeq\left[\begin{array}{c} (b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\\ 0\\ 2 a^2 c^2\end{array}\right].$
Les points $A, A', M$ et $N$ sont cocycliques et le centre de ce cercle est :
$S\simeq\left[\begin{array}{c} -(b^2 - c^2)^4 + a^6 (b^2 + c^2) + 3 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
a^4 (-3 b^4 + 2 b^2 c^2 - 3 c^4)\\ -2 a^2 b^2 c^2 (a^2 + b^2 -
c^2)\\ -2 a^2 b^2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right].$
Le rayon $R$ de ce cercle vérifie :
$R=\dfrac{2 a^3 b^2 c^2}{(-a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4)\sqrt{(a - b + c) (a + b - c) (-a + b + c) (a + b +
c)} }.$
La droite $(AH)$ a pour équation :
$(a^2 - b^2 + c^2)y+( -a^2 - b^2 + c^2)z=0.$
On a :
$ (a^2 - b^2 + c^2)\times(-2 a^2 b^2 c^2 (a^2 + b^2 - c^2) ) + (-a^2 - b^2 +
c^2)\times( -2 a^2 b^2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2))=0$
donc le centre $S$ du cercle passant par les points $A, A', M$ et $N$ est sur la A-hauteur de $ABC. $
Amicalement

Merci Jean Louis de nous l'avoir proposé.

_{J'aime bien ma similitude.}

Bonjour,

Je n'ai pas fait autre chose avec la similitude!

Mais si tu tiens vraiment à passer par les angles (avec des complémentaires et $E$ diamétralement opposé à $A$ sur le cercle $A,A',M,N$):

@ Lake
Excuse-moi, mais je n'avais probablement pas réalisé, faute d'avoir vraiment réfléchi à ce que tu avais écrit ... C'est vrai que la similitude que tu indiques répond tout à fait à ma question !
Merci d'avoir pris la peine d'indiquer une autre voie !
Cordialement
JLB