Une relation entre 3 vecteurs du plan

Il est probable que le Gramien est le déterminant de Gram, non ?

Mon cher Chaurien
Oui
Le gramien est le déterminant de la matrice de Grammm en toute dimension
Il faut donc savoir ce qu'est une dimension, ce qu'est une matrice, ce qu'est une matrice de Gram et ce qu'est un déterminant.
Avec les programmes actuels, les axiomes de Thalès et de Pythagore sont largement suffisants, nul besoin de s'encombrer l'esprit avec de telles fadaises!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher pappus, je déplore et dénonce moi aussi la baisse continue du niveau de notre enseignement, mais le déterminant de Gram n'a jamais été enseigné dans le Secondaire. Et on le voit toujours en Math Spé dans les espaces euclidiens de toutes dimensions. Je l'ai plusieurs fois posé en colle il n'y a pas si longtemps.

Explication. Le déterminant de Gram de trois vecteurs est :
$G(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=\left\vert
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{v}\cdot
\overrightarrow{u} & \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u} \\
\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{v}\cdot
\overrightarrow{v} & \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v} \\
\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w} & \overrightarrow{v}\cdot
\overrightarrow{w} & \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w}%
\end{array}%
\right\vert $, où $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ désigne le produit scalaire.
On montre sans trop de mal qu'il est le carré de : $\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$, pris dans une base orthonormale.
Ce qui explique pourquoi $G(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=0$ est une condition nécessaire et suffisante de coplanarité des trois vecteurs, comme le dit pappus à demi-mot.
On a la même propriété en dimension quelconque, et plus précisément la matrice de Gram est de même rang que la famille des vecteurs.
Le déterminant de Gram sert aussi à calculer la distance à un sous-espace. C'est vraiment un bel objet mathématique, et pappus a bien raison de nous le rappeler.
Il est compréhensible que le produit des normes des vecteurs se mette en facteur et que pour des vecteurs non nuls on se retrouve avec un déterminant dont les coefficients sont les cosinus de leurs angles mutuels, angles « vulgaires» du rapporteur. Ce qui me fait venir un doute au sujet de la formule de Piteux_gore.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Mon cher Piteux_gore
Autrement dit, tu as fait du gramien sans le savoir!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Piteux_gore
Si on applique le gramien aux vecteurs $\overrightarrow u=\dfrac{\overrightarrow{BC}}{BC}$, , $\overrightarrow v=\dfrac{\overrightarrow{CA}}{CA}$, $\overrightarrow w=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB}$, on tombe sur le déterminant:
$$\begin{vmatrix}
1&-\cos(\widehat C)&-\cos(\widehat \\
-\cos(\widehat C)&1&-\cos(\widehat A)\\
-\cos(\widehat &-\cos(\widehat A)&1
\end{vmatrix}=
1-\cos^2(\widehat A)-\cos^2(\widehat -\cos^2(\widehat C)-2\cos(\widehat A)\cos(\widehat \cos(\widehat C)=0$$
qui n'est autre que l'identité $13.13$, page $102$ du Lalesco
Tu vois, tu ne risquais pas de trouver quelque chose de nouveau!
Amicalement
[small]p[/small]appus