Idée d'axiomatisation de la géométrie plane

Bonjour à tous.
Voici une démonstration du fait qu'une isométrie $f$ du plan $\mathcal{P}$ envoie la droite $(AB)$, $A,B\in \mathcal{P}$, sur la droite $\left ( f(A)f(B) \right )$.

On montre que \[\forall M \in \mathcal{P},\ M\in (AB) \Leftrightarrow f(M)\in \left ( f(A)f(B) \right ) .\] La droite $(AB)$ est l'ensemble \[\{M\in \mathcal{P} \mid MA+AB=MB \}\cup\{M\in \mathcal{P} \mid AM+MB=AB \}\cup\{M\in \mathcal{P} \mid AB+BM=AM \}.\] Soit $M\notin (AB)$. Alors
\begin{eqnarray*}
MA + AB &\neq& MB ;\\
AM + MB &\neq& AB ;\\
AB + BM &\neq& AM.
\end{eqnarray*} Comme $f$ est une isométrie, ceci est équivalent à
\begin{eqnarray*}
f(M)f(A) + f(A)f(B) &\neq& f(M)f(B) ;\\
f(A)f(M) + f(M)f(B) &\neq& f(A)f(B) ;\\
f(A)f(B) + f(B)f(M) &\neq& f(A)f(M).
\end{eqnarray*} Ce qui est équivalent à $f(M)\notin \left ( f(A)f(B) \right ) .$ Cela achève la démonstration.

Le point clé dans cette démonstration est de voir la droite $(AB)$ comme la réunion des trois ensembles comme cela est fait. En faisant cela, je me suis demandé s'il existait une façon d'axiomatiser la géométrie plane en partant d'un espace métrique infini auquel on rajouterait des propriétés. Questions : savez-vous si une telle démarche existe déjà ? Cela vous paraît-il possible à réaliser ?

Merci d'avance de vos réponses.