Quatre points cocycliques
dans Géométrie
Bonjour,
en confinement...
1. ABC un triangle
2. (O), (I) les cercles circons, ins-crit
3. Ia le A-excentre
4. M, N les milieux resp. de [BC], de l’arc BAC
5. T le symétrique de N par rapport à A.
Question : Ia, M, I et T sont cocycliques.
Sincèrement
Jean-Louis
en confinement...
1. ABC un triangle
2. (O), (I) les cercles circons, ins-crit
3. Ia le A-excentre
4. M, N les milieux resp. de [BC], de l’arc BAC
5. T le symétrique de N par rapport à A.
Question : Ia, M, I et T sont cocycliques.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Qui est le milieu de l'arc $BAC$ ?
Amicalement
Qui est $N$ ?
Cordialement,
Rescassol
j'ai précisé...oops! il était confiné...
Sincèrement
Jean-Louis
Voici déjà la figure, c'est tout ce que je sais faire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Avec Morley inscrit:
Cordialement,
Rescassol
merci pour ces nouveaux points...
En fait, il manque le cercle circonscrit à ABC...
Une chasse angulaire peut conduire au résultat...(AIa) étant la médiatrice de [NT]...
Sincèrement
Jean-Louis
On introduit le point $S$ qui est la deuxième intersection de $(AI)$ avec le cercle $(ABC)$.
Il est classique que $(NS)$ est la médiatrice de $[BC]$ ($N$ est appelé pôle Nord et $S$ pôle Sud), et que le cercle de centre $S$ passant par $B$ passe aussi par $C,I,I_A$ (on le nomme cercle antarctique): notamment $S$ est le milieu de $[II_A]$.
On considère alors l'inversion par rapport au cercle antarctique: elle fixe $I$, et elle échange $N$ et $M$, donc $\overline{SI}^2=\overline{SM}\cdot \overline{SN}$, mais comme $(AN)$ est la bissectrice extérieure de l'angle $\widehat{BAC}$ alors $(AI)$ (la bissectrice intérieure du même angle) est perpendiculaire à $(AN)$, et comme $T$ est le symétrique de $N$ par rapport à $A$ alors $(AI)$ est la médiatrice de $[NT]$, donc $\overline{SN}=\overline{ST}$, et donc $\overline{SI}^2=\overline{SM}\cdot \overline{ST}$. Comme de plus $(SM,SI)=(SI,ST)$ ($NST$ isocèle en $S$) alors par la réciproque de la relation de Newton $I,I_A,M,T$ sont harmoniques, donc notamment comme ils ne sont pas alignés alors ils sont cocycliques.
Cordialement,
Quentin H.
En fait tu utilises la transposition circulaire de point central $S$ et de points fixes $I$ et $I_A$ et tu as montré qu'elle échangeait $M$ et $T$ entraînant la cocyclicité demandée puisque le quadrangle $(I,I_A,M,T)$ est harmonique.
J'adore ce genre de démonstration utilisant les transformations et ici en l'occurrence le défunt groupe circulaire.
Cela, c'est faire véritablement de la géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/24. 3. Cocyclite.pdf p. 8-10.
Sincèrement
Jean-Louis