Droite d’Euler et axe de parabole
Réponses
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Voici un exemple
-
Dit autrement,
Étant donné un triangle ABC,
existe-t-il une parabole qui lui est circonscrite et dont l’axe soit parallèle à la droite d’Euler de ABC ?
Auquel cas, quel est le quatrième point d’intersection de la parabole avec le cercle circonscrit (ABC) ?
Bonne matinée -
On cherche une conique passant par cinq points :
$A$, $B$, $C$, et un point double à l'infini dans la direction de la droite d'Euler.
Elle devrait exister. -
Bonjour,
Dans l'autre sens, avec Morley circonscrit au triangle $ABC$ la parabole est l'isogonale de la tangente au cercle circonscrit au point $-\dfrac{s_2}{s_1}$. Elle recoupe ce cercle au point $\dfrac{s_1^2s_3}{s_2^2}$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Yannguyen
"Construire un triangle inscrit dans une parabole $\left( P\right) $ donnée et dont la droite d’Euler est parallèle à l’axe de la parabole"
Il y a déjà une infinité de solutions évidentes : le sommet de $\left( P\right) $ et deux points symétriques par rapport à son axe.
Il faudrait peut-être reformuler ton problème (par exemple, en supposant donnés un ou deux sommets du triangle ou sa droite d'Euler ou ...)
Amicalement. Poulbot -
Bonsoir Poulbot,
Oui bien sûr qu’il y a des solutions évidentes.
Mais on peut imaginer partir de la parabole et deux points A et B dessus et chercher C...
Mon idée de départ était en fait de trouver une parabole circonscrite à un triangle donné et telle que son axe soit parallèle à la droite d’Euler de ABC.
Ensuite, il fallait trouver où cette parabole rencontrait le cercle circonscrit.
Bonne soirée
Yann -
Bonne nuit,Yannguyen a écrit:Mon idée de départ était en fait de trouver une parabole circonscrite à un triangle donné et telle que son axe soit parallèle à la droite d’Euler de ABC.
Ensuite, il fallait trouver où cette parabole rencontrait le cercle circonscrit.
Dans ce cas, j'ai répondu à la question.
Cordialement,
Rescassol -
Oui absolument cher Rescassol.
Mais on aimerait comprendre ce que sont les deux points que vous mettez en évidence par rapport au triangle.
Merci !
Yann -
Bonjour
Yannguyen wrote : "Mais on aimerait comprendre ce que sont les deux points que vous mettez en évidence par rapport au triangle".
Le triangle $ABC$ étant donné, la parabole de Yannguyen est la conique circonscrite ayant pour seul point à l'infini celui de la droite d'Euler. C'est donc la conjuguée isogonale de la tangente au cercle circonscrite au point conjugué isogonal du point à l'$\infty $ de la droite d'Euler qui est $X_{74}$ dans ETC.
Du coup, le point où la parabole recoupe le cercle circonscrit est le conjugué isogonal du point à l'$\infty $ de cette tangente, soit l'isogonal du point à l'$\infty $ de la direction orthogonale à $OX_{74}$ (point dont la droite de Simson est parallèle à $OX_{74}$).
Ce point est $X_{476}$ dans ETC.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour,
$X_{110}\left(\dfrac{s_2}{s_1}\right)$ est le point de Kiepert, foyer de la parabole du même nom dont la directrice est justement la droite d'Euler.
C'est une parabole inscrite dans le triangle $ABC$.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Donc $-\dfrac{s_2}{s_1}$ est l'antipode (point diamétralement opposé) du point de Kiepert. -
Bonne nuit,
Une petite figure.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Une équation de la parabole de Yannguyen est:
$(s_2z - s_1s_3\overline{z})^2 - s_1(s_2^2 + s_1s_3)z - s_2s_3(s_1^2 + s_2)\overline{z} + (s_1^3s_3 + 2s_1s_2s_3 + s_2^3)=0$
Son axe: $4s_1s_2(s_2z - s_1s_3\overline{z})-(s_1^3s_3 - s_2^3) = 0$
Sa directrice: $pdir \space z + qdir\space \overline{z} +rdir = 0$ avec:
$pdir=2s_2(s_1^3s_3 + 2s_1^2s_2^2 + s_2^3)$
$qdir=2s_1s_3(s_1^3s_3 + 2s_1^2s_2^2 + s_2^3)$
$rdir=-s_1s_2(5s_1^3s_3 + s_1^2s_2^2 + 9s_1s_2s_3 + 5s_2^3)$
Son foyer: $f=\dfrac{4s_3s_1^5 - s_1^4s_2^2 + 8s_3s_1^3s_2 + 2s_1^2s_2^3 - s_2^4}{4s_1(s_3s_1^3 + 2s_1^2s_2^2 + s_2^3)}$
Son sommet: $s=\dfrac{s_1^6s_3^2 + 20s_1^5s_2^2s_3 + 34s_1^3s_2^3s_3 + 12s_1^2s_2^5 - 3s_2^6}{16s_1s_2^2(s_3s_1^3 + 2s_1^2s_2^2 + s_2^3)}$
Aucun de ces deux points n'est dans l'ETC.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Une figure un peu plus sobre.
Edit2: $s_2z - s_1s_3\overline{z}=0$ est une équation de la droite d'Euler. -
Mille mercis à Poulbot et à Rescassol.
Votre savoir est si précieux et il est dommage que les gens de talent en la manière qui fréquentent le forum ne puissent pas trouver un éditeur qui les encourage à faire des livres de géométrie. -
Bonjour
Montrer que l’inverse isotomique du cercle circonscrit est une droite parallèle à la directrice de cette parabole.
Calculer la distance qui les sépare. Ouf ! -
Bonjour,
Il me semble que l'isotomie est involutive, qu'est ce donc alors que l'inverse isotomique ?
En tous cas l'image du cercle circonscrit par l'isotomie par rapport au triangle $ABC$ a pour équation:
$s_2 z + s_1s_3 \overline{z} + (3s_3 - s_1s_2) = 0$.
C'est effectivement une droite parallèle à la directrice (ou orthogonale à l'axe, comme on voudra) de la parabole.
Par contre, la distance entre cette droite et la directrice n'a rien de simple:
$Distance^2=\dfrac{9(s_1^4s_2s_3 - s_1^3s_2^3 + 2s_1^3s_3^2 + 7s_1^2s_2^2s_3 + s_1s_2^4 + 2s_2^3s_3)^2}{16s_1s_2s_3(s_1^3s_3 + 2s_1^2s_2^2 + s_2^3)^2}$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Rescassol
L’inverse isotomique veut dire l’image par isotomie. On parle bien de l’inverse d’une droite ou d’un cercle par inversion relativement à un cercle.
L’inverse isotomique du cercle circonscrit s’appelle la pappucine et l’inverse isogonal de l’ellipse de Steiner circonscrite s’appelle la poulbotine.
La pappucine est orthogonale à l’axe d’Euler et la poulbotine est orthogonale à l’axe de Brocard.
Merci pour le calcul de la distance.
Cordialement -
Bonjour Rescassol
Une distance étant … une distance, serait-il possible d'avoir sa valeur en termes de distances, par exemple en fonction des longueurs des côtés du triangle et non en fonction de nombres complexes non réels et difficiles à visualiser. Si le résultat est trop compliqué, tu pourrais simplement nous expliquer comment l'obtenir à partir de ta formule.
Bien cordialement. Poulbot -
Bonjour Poulbot,
Je vais voir ce que je peux faire, mais effectivement, ça a l'air compliqué.
Comme ingrédients, on peut diviser par la puissance adéquate de $s_3$, se servir de $\overline{s_1}=\dfrac{s_2}{s_3}$, $\overline{s_2}=\dfrac{s_1}{s_3}$, $\overline{s_3}=\dfrac{1}{s_3}$ et $OH^2=s_1\overline{s_1}$.
Après, fait voir.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Rescassol,
Est que le point d’intersection de la parabole de Yann
avec l’hyperbole (équilatère) de Kieprrt est-il répertorié dans l’ETC ?
Cordialement
Yann -
Même question pour l’intersection de la parabole de Yann avec l’hyperbole bisotomique
(inverse isotomique de l’axe d’Euler) ou avec l’hyperbole (équilatère) de Jerabek, inverse isogonale du même axe.
Merci !
Yann -
Bonjour Yann,
Le point d’intersection de ta parabole avec l’hyperbole de Kiepert n'est pas dans l’ETC. Le voilà:
$\dfrac{s_1(9s_1^6s_3^2 - 14s_1^5s_2^2s_3 + 8s_1^4s_2^4 + 18s_1^4s_2s_3^2 - 6s_1^3s_2^3s_3 - 26s_1^2s_2^5 + 54s_1s_2^4s_3 + 21s_2^6)}{9(s_1^3s_3 - s_2^3)^2}$
Par contre, je n'ai pas la réponse à la question de Poulbot, c'est plus compliqué que prévu.
Je vais voir tes deux autres hyperboles.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir,
Avec l'hyperbole de Jérabek, voilà: $\dfrac{s_1(s_3s_1^3 + 3s_2^3)(s_3s_1^3 + 2s_3s_1s_2 + s_2^3)}{(s_1^3s_3 - s_2^3)^2}$
qui n'est pas plus dans l'ETC.
La dernière hyperbole un peu plus tard.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir à tous,
Soit $K$ d'affixe $k$ l'intersection de $SF$ avec la directrice.
La distance de $K$ à la droite $s_2 z + s_1s_3 \overline{z} + (3s_3 - s_1s_2) = 0$ n'est-elle pas donnée par le calcul suivant :
$D=\dfrac{\left \lvert s_2 k + s_1s_3 \overline{k} + (3s_3 - s_1s_2)\right \rvert }{ 2\sqrt{ s_2 \overline{s_2}}}.$
Amicalement -
Bonsoir Bouzar,
J'ai déjà donné plus haut une expression de cette distance.
La tienne ne répond pas plus que la mienne aux critères de Poulbot.
Il faudrait pouvoir l'exprimer en fonction de distances réelles, longueurs des côtés, rayons de cercles connus, etc ....................
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir Rescassol,
Poulbot a dit "Une distance étant … une distance, serait-il possible d'avoir sa valeur en termes de distances".
D'ailleurs, je n'ai pas voulu développer plus.
Cordialement -
Bonjour,
Le point n'est pas dans l'ETC non plus pour l'hyperbole bisotomique. Je trouve encore plus compliqué:
$\dfrac{16s_1^{10}s_3^3 + 21s_1^9s_2^2s_3^2 - 18s_1^8s_2^4s_3 - 6s_1^8s_2s_3^3 + 8s_1^7s_2^6 - 30s_1^7s_2^3s_3^2 + 81s_1^7s_3^4 + 54s_1^6s_2^5s_3\\ + 126s_1^6s_2^2s_3^3 - 54s_1^5s_2^7 - 444s_1^5s_2^4s_3^2 + 162s_1^5s_2s_3^4 + 186s_1^4s_2^6s_3 + 702s_1^4s_2^3s_3^3 + 93s_1^3s_2^8\\ - 378s_1^3s_2^5s_3^2 - 294s_1^2s_2^7s_3 + 486s_1^2s_2^4s_3^3 - 20s_1s_2^9 + 297s_1s_2^6s_3^2 + 36s_2^8s_3}{81(s_3 - s_1s_2)^2(s_3s_1^3 - s_2^3)^2}$
Cordialement,
Rescassol -
Merci Rescassol
Voici donc une parabole qui aurait échappé à l’attention des géomètres depuis toujours. Si existence était très parfaitement prévisible. Comme l’a souligné Poulbot depuis le tout début
Peut-on néanmoins répondre à la question suivante :
Existe-t-il un point à distance finie de l’ETC qui soit sur cette parabole ?
Cordialement
Yann -
Bonjour Yann,
D'après Géogébra, aucun des $3054$ premiers points de l'ETC n'est sur ta parabole.
Après, je ne sais pas, c'est plus compliqué de voir.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour ,
Yann, le sommet $X_{3233}\left( \dfrac{s_1^3s_3 + 3s_2^3}{4s_1s_2^2}\right)$ de la parabole (inscrite) de Kiepert est sur ta parabole, c'est le symétrique orthogonal de $X_{476}$ par rapport à l'axe de ta parabole.
Cordialement,
Rescassol -
Super, cher Rescassol
L’image de X110 par la composée des réflexions relativement à l'axe de la parabole précédée de la réflexion par rapport à la droite d’Euler est le sommet de ma parabole.
On en déduit alors un truc sympa
Lequel ?
Merci encore
Yann -
Bonjour
Si l’on tient en plus compte de ce que disait Poulbot plus haut
On verrait que la droite de Simson de X74 est orthogonale à l’axe de ma parabole Et celle de X110 à l’axe de la parabole de Kiepert.
Cette dernière étant la tangente au sommet de la parabole dont il est le foyer.
Pourrais-tu cher Rescassol mettre en évidence sur la figure le point de Steiner !?
Avec l’ellipse circonscrite de même nom !?
Merci !
Yann -
Bonjour
Voici le procédé pour qui veut avoir le dessin rapide des deux paraboles
1) on trace la droite d’Euler
Le cercle circonscrit
L’ellipse de Steiner circonscrite passe les symétriques des sommets par rapport au centre de gravité
Le point de Steiner S est le quatrième point d’intersection de cette ellipse avec le cercle.
On détecte le point X74 sur le cercle circonscrit comme suit ;
La droite symétrique de la parallèle à la droite d’Euler passant par un sommet du triangle relativement aux bissectrices de l’angle en ce sommet passe par X74.
Une fois que l’on a ce point X74
On mène la parallèle à la droite d’Euler qui recoupe le cercle circonscrit en X476
L’axe de la parabole de Yann est l’homothétique de la droite d’Euler par l’homothétie de rapport 3/4 de centre X476
Une fois l’on a l’axe, on symétrise les sommes de notre triangle par rapport à cet axe et on a trop de points pour dessiner la parabole de Yann
Pour la parabole de Kiepert, on a son axe : c’est la perpendiculaire à la droite d’Euler passant par X476
Il suffit d’en connaître alors trois points : ce sont les pieds des céviennes passant par S
Ces points étant les points de tangence de la parabole de Kiepert avec le triangle.
Cordialement
Yann -
Bonjour,
Voilà avec le point de Steiner $X_{99}\left( \dfrac{s_3(s_1^2-3s_2)}{s_2^2-3s_1s_3} \right)$ et l'ellipse circonscrite de Steiner.
Les droites de Simson de $X_{74}$ et $X_{110}$ sont en pointillé.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Yann,
Le quatrième point d'intersection de ta parabole et de l'ellipse circonscrite de Steiner est dans l'ETC.
C'est $\displaystyle X_{16077}$:
$\dfrac{s_1^7s_3^2 + 2s_1^6s_2^2s_3 - 7s_1^5s_2s_3^2 - 9s_1^4s_2^3s_3 + 9s_1^4s_3^3 - s_1^3s_2^5 + 15s_1^3s_2^2s_3^2 + 5s_1^2s_2^4s_3 + 4s_1s_2^6 - 3s_2^5s_3}{(s_3s_1^3 - s_1^2s_2^2 + 3s_3s_1s_2 + s_2^3)^2}$
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour
La droite de Simson de C74 passe visiblement par le point de Steiner. Fait remarquable !
Dispose-t-on d’un argument simple à cet effet ?
Cordialement
Yann
Il me semble que ce que l’on voit sur la figure de Rescassol semble une coïncidence !?? -
Bonjour,
Effectivement Yann, j'ai vu une coïncidence.
J'ai légèrement modifié la figure.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour
Je propose un nom à la parabole de Yann.
La parabole de Kiepert circonscrite.
Et on appellerait l’autre, celle qui est connue, la parabole de Kiepert inscrite.
Voici une figure sur les paraboles inscrites trouvée dans un livre. Dans le cas de la parabole de Kiepert (inscrite).
Le perspecteur se trouve confondu avec le point de Steiner.
Cordialement
Yann
À chaque parabole inscrite de foyer $F$, notée ${\scr P}_F$, il correspond une parabole circonscrite notée ${\scr P}_{F’}$ de foyer $F’$ ayant un axe perpendiculaire à l’axe de ${\scr P}_F$.
Quel est le lieu de $F’$ quand $F$ varie ? -
Bonjour,
C'est le moment de redonner un lien vers mon fil en solitaire d'il y a sept ans.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Rescassol
Merci pour le le lien. Intéressant !
Où se trouve f quand F est en S ?
Merci !
Yann -
Bonne nuit,
A priori, c'est l'ensemble des foyers de toutes les paraboles circonscrites, donc la quintique dont je parle dans mon fil en solitaire.Yannguyen a écrit:À chaque parabole inscrite de foyer $F$, notée ${\scr P}_F$, il correspond une parabole circonscrite notée ${\scr P}_{F'}$ de foyer $F'$ ayant un axe perpendiculaire à l’axe de ${\scr P}_F$.
Quel est le lieu de $F'$ quand $F$ varie ?
Je joins en .tex à renommer en .txt l'équation un peu compliquée de cette quintique.
Pour ta question suivante, si je vois ce que sont $F$ et $S$, je ne vois pas ce que tu appelles $f$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Si je résume, une parabole inscrite est de foyer un point $U(u)$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et sa directrice est la droite de Steiner de $U$ par rapport à $ABC$.
Une parabole circonscrite est l'isogonale d' un point $V(v)$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$, par rapport à ce triangle.
Les axes des deux paraboles sont orthogonaux (comme leurs directrices) si on a $v=-u$.
Je joins une figure du cas général avec le lieu des foyers de la parabole circonscrite, la quintique dont j'ai déjà parlé, et qui passe par le point de Steiner $X_{99}$.
Je joins également une figure du cas où le foyer de l'inscrite est le point de Steiner.
Son perspecteur est $X_{670}$ et le foyer de la parabole circonscrite n'est pas dans l'ETC, le voilà:f=Numf/Denf avec: Numf=s1^8*s3^4 - 30*s1^6*s2*s3^4 + 12*s1^5*s2^3*s3^3 - 108*s1^5*s3^5 - 2*s1^4*s2^5*s3^2 + 459*s1^4*s2^2*s3^4 - 324*s1^3*s2^4*s3^3 - 648*s1^3*s2*s3^5 + 106*s1^2*s2^6*s3^2 + 378*s1^2*s2^3*s3^4 - 16*s1*s2^8*s3 - 108*s1*s2^5*s3^3 + s2^10 + 6*s2^7*s3^2 + 81*s2^4*s3^4 Denf=4*s3*(3*s1*s3 - s2^2)*(2*s1^6*s3^2 - s1^5*s2^2*s3 - 18*s1^4*s2*s3^2 + 12*s1^3*s2^3*s3 + 27*s1^3*s3^3 - s1^2*s2^5 - 18*s1*s2^4*s3 + 2*s2^6 + 27*s2^3*s3^2)
Cordialement,
Rescassol
Edit: Il m'a fallu 4 h pour me rendre compte que j'avais oublié les figures.
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