Unicursale

Bonjour,

Les points doubles sont les points cycliques.

@soland : Mais ta courbe est de genre $3-2=1$ donc elle n'est pas unicursale (=rationnelle).
Hum, j'ai sans doute dit autrement ce qu'a déjà raconté j__j...

Bizarre. Comme l'écrit j_j, une quartique doit avoir 3 points doubles pour être rationnelle. Or la quartique en question n'a bien que les points cycliques comme points doubles.

R.<x,y,z>=PolynomialRing(QQ,"x,y,z")
P=81-144*x^2+10*x^4-128*y-120*x^2*y\
+216*y^2+20*x^2*y^2-120*y^3+10*y^4
Ph=P.homogenize(z)
Sing=R.ideal([diff(Ph,x),diff(Ph,y),diff(Ph,z)])

(Sing+R.ideal([x-1])).variety(QQbar)

[{z: 0, y: -1*I, x: 1}, {z: 0, y: 1*I, x: 1}]

(Sing+R.ideal([y-1])).variety(QQbar)

[{z: 0, y: 1, x: -1*I}, {z: 0, y: 1, x: 1*I}]

(Sing+R.ideal([z-1])).variety(QQbar)

[]

Soland se serait-il gouré ?

Unicursale

C'est quoi, une branche ?

Soland, ce n'est pas compléter le plan $\mathbb R^2$ en le plan projectif plutôt qu'en la sphère qui va causer des problèmes.
L'inversion sur le plan projectif réel est une transformation birationnelle du plan (transformation de Cremona).
Il est démontré que ta quartique n'est pas rationnelle. Qu'est-ce donc que tu voulais dire par "unicursale" ? Il est peut-être temps de dire où tu voulais en venir.

J'ai entendu dire que le mot unicursale a eu une acception ancienne qui signifiait que l'on peut tracer en un trait de crayon (voir unius-cursus) et que, précisément, l'épithète rationnelle permettait au contraire d'éviter l'ambiguïté.

Bon, Soland, on sait maintenant ce que veut dire "unicursale" pour toi.

Maintenant je ne vois pas ce que tu veux dire par

Le traitement s'applique à toutes les quartiques bicirculaires
(et toutes les cubiques circulaires).

Peux-tu expliquer ? Merci.

PS. J'ai vu la courbe d'équation $9(x^2+y^2)^2 - 18(x^2 {\color\red-}y^2 )- 1$ dans le bon repère.

Edit : correction de signe.

Bonjour.

Mon questionnement fait suite aux programmes donnés par GaBuZoMeu. On part de l'homographie indirecte$
\def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}

$ \[ \psi\,:\;

\vz \mapsto \dfrac{\vzz + 2 z}{\vzz + z}

\]
On veut calculer la transformation de Cremona associée: \[
\Psi\,:\:
\left(\begin{array}{r}
\vz \\\vt \\\vzz
\end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{r}
\vz \vzz + 2 z \vz \vt + \left(2 z + 1\right) \vzz \vt + \vt^{2} \\\vz \vzz + z \vz \vt + \left(2 z + 1\right) \vzz \vt
- \vt^{2} \\\vz \vzz + z \vz \vt + \left(z + 2\right) \vzz \vt + \vt^{2}
\end{array}\right)

\] ainsi que ses points d'indétermination qui sont: \[
\left(\begin{array}{c}z + 2 \\1 \\2 z\end{array}\right),
\left(\begin{array}{r}0 \\0 \\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{r}1 \\0 \\0\end{array}\right)
\]
Les coefficients appartiennent à $\mathbb F _9$ et $z$ vérifie $z^2-z-1=0$. Tandis que l'opérateur "barre" est celui qui échange $\vz$ et $\vzz$, et applique Frobenius aux coefficients, c'est à dire $x\mapsto x^3$.

La question est: comment programmer cela "agréablement", et pas seulement en forçant la main du Sage.

sage: var('U chi'); F9=GF(9,name='chi'); chi=F9.gens()[0]; F9, chi, chi.parent(), chi^2-chi-1  ## msg

sage: var('Z Zeta Z0 Zeta0 T W')
sage: PPP=PolynomialRing(F9, [Z,Zeta, T])
sage: FFF=FractionField(PPP)
sage: Z_, Zeta_, T_ =FFF.gens()
sage: Z_p, Zeta_p, T_p =PPP.gens()
sage: [j.parent() for j in [Z,Z_,Z_p]] ## msg

sage: levec=Matrix([Z_p,T_p,Zeta_p]).transpose(); 

sage: toto=(Zeta_+2*chi)/(Zeta_+chi); 
sage: toto_fro=sage_eval(str(toto).replace('chi','chi^3'), locals={'chi':chi, 'Zeta':Zeta_, 'Z':Z_})
sage: tmq=Matrix([toto.subs({Z_:Z_/T_,Zeta_:Zeta_/T_}),1,toto_fro.subs({Z_:Zeta_/T_,Zeta_:Z_/T_})]).transpose(); tmq ## msg

sage: fufu=tmq*tmq[0].denominator()*tmq[2].denominator(); levec, fufu ## msg

sage: zid=PPP.ideal( [fufu[j,0] for j in range (3)]); 
sage: ans= flatten( [(zid+Ideal([T_p-1])).variety(), (zid+Ideal([Z_p-1])).variety(), (zid+Ideal([Zeta_p-1])).variety()]); 
sage: tmp= [ levec.subs(j)  for j in ans]; 
sage: tmp1=[j if j[1,0]==0 else j/j[1,0] for j in tmp]; 
sage: tmp2=uniq([str(k.list()) for k in tmp1]); tmp2
sage: [ Matrix(sage_eval(j, locals={'chi':chi})).transpose() for j in tmp2] ; 

1. Comment obtenir génériquement l'expression réduite irréductible fufu ?
2. Comment obtenir une expression normalisée unique dans l'espace projectif (il faudrait que le coefficient dominant du dénominateur soit $1$ ?
3. Comment obtenir l'unicité dans une liste (à la fin, les objets de la liste doivent être des objets "normaux').

Cordialement, Pierre

Bonjour j__j,

Claude Quitté dit souvent qu'il faut avoir fait une fois dans sa vie le passage "quartic to cubic".
Lui travaille avec Magma.
Il me semble avoir vu GBZM faire ce tour de passe-passe avec Sage.
Mais j'me souviens plus très bien...
Et apparemment, [ce fil] suggère qu'on peut aussi s'amuser avec les courbes gauches de genre $1$ !

Merci GBZM !

Et si ce n'est pas trop demander, j'imagine que tu peux même nous donner le morphisme inverse de cette courbe elliptique vers la courbe de soland. :-)

Pas tout de suite.
Et je ne suis pas satisfait du passage sur $\mathbb Q[ i]$. On devrait pouvoir faire sans.
Mais la commande "Jacobian" ne marche pas sur n'importe quoi.

john_john : ça, Sage sait faire les doigts dans le nez :

Scheme morphism:
  From: Affine Plane Curve over Rational Field defined by -x^4 + y^2 - 1
  To:   Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x over Rational Field
  Defn: Defined on coordinates by sending (x, y) to
        (-4*x^2*y : 4*x^5 - 4*x : y^3)

Mouais... Curieux :

R.<x,y>=PolynomialRing(QQ,"x,y")
h=Jacobian((y^2-x^4-1), morphism="True")
h

Scheme morphism:
  From: Affine Plane Curve over Rational Field defined by -x^4 + y^2 - 1
  To:   Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x over Rational Field
  Defn: Defined on coordinates by sending (x, y) to
        (-4*x^2*y : 4*x^5 - 4*x : y^3)

puis

E = h.codomain()
E.defining_polynomial()(h.defining_polynomials()).factor()

(-16) * x^2 * y^3 * (-x^4 + y^2 - 1) * (x^4 + y^2 + 1)

Bonjour

Je dis peut-être une bêtise, mais [si] on pouvait paramétrer rationnellement la courbe d'équation $y^2=x^4+1$, on aurait des solutions entières de l'équation $x^4+y^4=z^2$, ce qui m'étonnerait.

Cordialement,
Rescassol

@j__j : Je sus le faire à la main mais là, j'ai demandé à magma de faire le travail en fournissant le point de base $(0,1)$ de ta courbe qu'il envoie sur le point à l'infini de $y^2=x^3-4x$.

@Rescassol : Effectivement, on a déjà dit dans ce fil qu'une telle paramétrisation ne pouvait pas être rationnelle.

Bonsoir j__j,

En fait non.
Tu donnes à magma une courbe $\mathcal C$ de genre $1$ avec un point de base non singulier, et il retourne la courbe elliptique sous la forme de Weierstrass qui est isomorphe à $\mathcal C$, avec les morphismes qui vont avec !

> P2<X, Y, Z> := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> C := Curve(P2,Y^2*Z^2-X^4-Z^4);
> pt := C![0, 1, 1];
> E, phi := EllipticCurve(C, Place(pt));
> E;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x over Rational Field
> phi;
Mapping from: CrvPln: C to CrvEll: E
with equations :
2*X^2
4*X*Z
Y*Z - Z^2
> IsInvertible(phi);
true Mapping from: CrvEll: E to CrvPln: C
with equations :
2*$.2*$.3 [color=#FF0000]#2YZ#[/color]
$.1^2 + 4*$.3^2 [color=#FF0000]#X^2+4Z^2#[/color]
$.1^2 - 4*$.3^2 [color=#FF0000]#X^2-4Z^2#[/color]

Merci, Claude,
le tout est-il détaillé dans ton livre avec H.Lombardi (chez c&m) ? Je n'ai pas celui co-écrit avec Naudin.

Bonne journée ! j__j

En fait, je ne comprends pas bien ce que fait exactement Sage en calculant la jacobienne. Visiblement, ce qu'il produit n'est pas directement un isomorphisme birationnel.

Ça n'explique pas grand chose, vu qu'on a bien ici des points rationnels. Et SageMath renvoie bien un morphisme. Qu'est-il exactement ??

$\def\P{\mathbb P}$Je reprends là où j'en étais (Nagell pour les petits)
$\bullet$ Etape 0. Se munir d'un jeu de lettres et éviter de renommer. Quartique bicarrée unitaire affine en $(u,v)$ : $v^2 = u^4 + au^2 + b$. Transformation en :
$$
Y^2 = X^3 + a'X^2 + b'X = X(X^2 + a'X + b') , \qquad \qquad a' = -2a, \quad b' = a^2 - 4b
$$$\bullet$ Avant de démarrer, quelque chose d'important. On va obtenir un isomorphisme de courbes algébriques projectives, je dis bien un isomorphisme, à condition de se placer dans l'espace à poids $\P^2(1,2,1)_{(u:v:w)}$ avec la quartique homogène
$$
v^2 = u^4 + au^2w^2 + bw^4 \qquad\qquad
\text{ ceci signifie que } u,w \text{ ont le poids 1 et } v \text{ le poids 2}
$$
$\bullet$ Etape 1. Le truc tout bête du trinôme du second degré qui consiste à écrire $v^2 = (u^2 + a/2)^2 - b'/4$. On pose $G(u) = u^2 + a/2$
$$
\big(\ \overbrace {v + G(u)}^x \ \big) \big( v - G(u) \big) = -b'/4 \qquad\qquad
\left\{
\begin {array} {l}
v + G(u) \quad \buildrel {(1)} \over = \quad x \\
v - G(u) \quad \buildrel {(2)} \over = \quad -b'/(4x) \\
\end {array}\right.
$$
$\bullet$ Etape 2. On élimine $v$ via $(1) - (2)$, on multiplie par $x^2$ et on remplace $G(u)$ par sa valeur i.e. $G(u) = u^2 + a/2$
$$
(1) - (2) : \qquad \qquad 2G(u) = x + b'/(4x) \qquad\qquad \times x^2 \qquad\qquad 2(ux)^2 = x^3 - ax^2 + (b'/4)x
$$C'est presque gagné en posant $y = ux$ car on a obtenu $2y^2 = x^3 - ax^2 + (b'/4)x$
$\bullet$ Etape 3 On unitarise en $y$. Pas le choix : on multiplie par 8 car $2 \times 8 = 4^2$ et $8 = 2^3$. Bref $Y = 4y$ et $X = 2x$:
$$
Y^2 = X^3 - 2a X^2 + b'X =_{\rm def.} X^3 + a'X^2 + b'X = X(X^2 + a'X + b')
$$$\bullet$ Formules $(X,Y) \leftrightarrow (u,v)$
$$
\left\{
\begin {array}{l}
X = 2(v + G(u)) = 2(v + u^2) + a \\
Y = 2uX \\
\end {array} \right.
\qquad\qquad\qquad\qquad
\left\{
\begin {array}{l}
u = Y/(2X) \\
v = {X^2 - b' \over 4X} \\
\end {array} \right.
$$Note : pour $v$, il y a un petit calcul à faire en partant de $v = G(u) - b'/(2X)$ ...etc.. et en utilisant $Y^2 = X^3 + a'X^2 +b'X$.

Sur le papier, cela semble suffire. Mais dans la vraie vie, post suivant.

Suite. Dans la vraie vie, parfois je ne laisse pas faire le logiciel. J'ai besoin de relais ...etc.. Ci-dessous, $a,b$ au pif. La fonction EbarToH1ab (nom à la c.n) implémente l'isomorphisme entre la courbe elliptique et la quartique projective.

[color=#000000]> a := 3 ; b := 7 ;
> f := EbarToH1ab(a,b) ;
> Domain(f) ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 6*x^2 - 19*x over Rational Field
> Codomain(f) ;
Curve over Rational Field defined by u^4 + 3*u^2*w^2 + 7*w^4 - v^2
> Ambient(Codomain(f)) ;
Projective Space of dimension 2 Variables: u, v, w
The grading is:    1, 2, 1
> 
> f : Minimal ;
(x : y : z) -> (y*z : x^3*z + 19*x*z^3 : 2*x*z)
Alternatives:
(x : y : z) -> (y : 6*x^2 + y^2 + 38*x*z : 2*x)
(x : y : z) -> (x^2 - 6*x*z - 19*z^2 : x^4 - 6*x^3*z - 114*x*z^3 - 361*z^4 : 2*y*z)
> 
> g := Inverse(f) ;
> g : Minimal ;
(u : v : w) -> (2*u^2*w + 3*w^3 + 2*v*w : 4*u^3 + 6*u*w^2 + 4*u*v : w^3)
[/color]

Obtenu via le code suivant (au cas où il y aurait des coquilles dans mon post précédent). Ici il n'y en a pas car le logiciel vérifie tout. Il s'agit bien d'un ISOMORPHISME de courbes algébriques grâce au grading $(1,2,1)$ pour $u,v,w$

[color=#000000]/*
a' = abar = -2a,   b' = bbar = a^2 - 4b
Affine :  E' = Ebar : y^2 = x^3 + a'*x^2 + b'*x,     H_{1,a,b} : v^2 = u^4 + a*u^2 + b

E' ---> H_{1,a,b}    u = y/(2x), v = (x^2 - b')/(4x)

Obtenu via : u = y/(2x) !! et v = G(u) - b'/(2x) avec G(T) = T^2 + a/2 = T^2 - a'/4

                                  y^2 - a'x^2 - 2b'x    x^3 + a'x^2 + b'x - a'x^2 - 2b'x
v = y^2/(4x^2) - a'/4 - b'/(2x) = ------------------ = --------------------------------
                                           4x^2                    4x^2
               
                                = (x^2 - b') / (4x)

Dans l'autre sens 
H_{1,a,b} --> E'     x = 2(v + u^2) + a        y = 2ux = 2u * (2(v + u^2) + a)

Obtenu via x = 2(v + G(u)) = 2(v + u^2 + a/2)  et y = 2ux
*/
EbarToH1ab := function(a,b : P2 := ProjectiveSpace(k, [1,2,1]) 
                                  where k is FieldOfFractions(Universe([a,b]))) ;
  k := BaseRing(P2) ;
  kX := PolynomialRing(k) ;
  abar := -2*a ;  bbar := a^2 - 4*b ;
  Ebar<x,y,z> := EllipticCurve(X*(X^2 + abar*X + bbar)) where X is kX.1 ;
  P2uvw<u,v,w> := P2 ;
  H1ab := Curve(P2uvw, u^4 + a*u^2*w^2 + b*w^4 - v^2) ;

  // (u,v,w) en fonction de (x,y,z) sous 3 formes pour relais
  R := x^2 + abar*x*z + bbar*z^2 ;  // hmg de degré 2
  //           u             v                    w
  uvwI :=   [y*z, x*z * (x^2 - bbar*z^2),      2*x*z] ;
  uvwII :=  [y,   y^2 - abar*x^2 - 2*bbar*x*z, 2*x] ;
  uvwIII := [R,   R * (x^2 - bbar*z^2),        2*y*z] ;

  // Inverse : (x,y,z) en fonction de (u,v,w)
  Q := 2*(v + u^2) + a*w^2  ; // hmg de degré 2
  //       x     y     z
  xyz := [w*Q, 2*u*Q, w^3] ;
  return iso < Ebar -> H1ab | [uvwI, uvwII, uvwIII],  xyz > ;
end function ;
[/color]

Oui, j'avais un signe erroné dans mon équation.
Une quartique bicirculaire est de genre au plus 1. Elle a donc au plus deux ovales (le genre plus 1, théorème de Harnack - Klein si on veut). Et comme l'intersection avec la droite de l'infini se réduit aux points cycliques, les ovales sont entièrement contenus dans le plan affine.

Tu devrais arrêter de parler de courbe unicursale pour dire qu'une courbe n'a qu'un seul ovale. Comme tu as pu le constater, tout le monde (sauf toi) utilise maintenant "unicursale" comme synonyme de rationnelle. Une courbe projective rationnelle a bien une seule composante connexe de dimension 1.