Lignes de courbure de l'hyperboloïde

Merci @pappus. J'ai ces deux livres. Je vais regarder l'article de Lebesgue.

Un livre que j'aimerais voir c'est The Universe of Quadrics.

En couleurs:

Pour $a=b$ les lignes de courbures sont des cercles et des hyperboles. Sur mathcurve il y a une paramétrisation qui donne des cercles et des hyperboles, ce sont probablement les lignes de courbure.

Pour $b=c$ il semble que les lignes de courbes dans une "direction" sont des ellipses mais celles dans l'autre "direction" ne sont pas des hyperboles. C'est ce cas qui me chiffonne.

J'ai réussi (tu)

J'ai les lignes de courbure pour $b$ et $c$ quelconques. Voici la démarche.

Je cherche les lignes de courbure de
$$\mathcal{H}_0\colon\quad
\frac{x^2}{a_0^2} + \frac{y^2}{b_0^2} - \frac{z^2}{c_0^2} = 1.$$
Je prends un ellipsoïde de référence $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ avec $a>b>c$ tel que $\mathcal{H}_0$ appartienne à la famille confocale
$$\frac{x^2}{a^2-\lambda} + \frac{y^2}{b^2-\lambda} + \frac{z^2}{c^2-\lambda} = 1,
\qquad b^2 > \lambda > c^2.$$
Il s'agit donc de déterminer $a$, $b$, $c$ et le $\lambda$ de $\mathcal{H}_0$.
Les lignes de courbure sont alors les intersections de $\mathcal{H}_0$ avec les ellipsoïdes
$$\frac{x^2}{a^2-\lambda} + \frac{y^2}{b^2-\lambda} + \frac{z^2}{c^2-\lambda} = 1,
\qquad \lambda < c^2$$
et les hyperboloïdes à deux nappes
$$\frac{x^2}{a^2-\lambda} + \frac{y^2}{b^2-\lambda} + \frac{z^2}{c^2-\lambda} = 1,
\qquad a^2 > \lambda > b^2.$$
L'équation de ces intersections est disponible dans Ellipsoidal Harmonics: Theory and Applications.

Voilà pour le deux nappes.

Question. J'ai fait ça pour $x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1$. Puis-je m'en servir pour obtenir les lignes de courbure de $-x^2/a^2 - y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1$ ?