Coordonnées homogènes
Bonjour à tous,
Dans le cadre d'un exercice de géométrie projective, j'ai les infos suivantes, et une question qui semble pourtant élémentaire.
On se place dans le plan projectif $P(V)$, avec $(e_1,e_2,e_3)$ une base de V.
$x=ay+fz$ est une équation de la droite $(AF)$
$x=by+ez$ est une équation de la droite $(BE)$
$X$ est le point de concours de $(AF)$ et $(BE)$
Comment procéder pour déterminer les coordonnées homogènes de $X$ ?
(on a plus haut dans l'énoncé : " Notant par $(x:y:z)$ les coordonnées homogènes relatives à cette base ...", mais pas sûr de voir ce que ça apporte)
Dans le cadre d'un exercice de géométrie projective, j'ai les infos suivantes, et une question qui semble pourtant élémentaire.
On se place dans le plan projectif $P(V)$, avec $(e_1,e_2,e_3)$ une base de V.
$x=ay+fz$ est une équation de la droite $(AF)$
$x=by+ez$ est une équation de la droite $(BE)$
$X$ est le point de concours de $(AF)$ et $(BE)$
Comment procéder pour déterminer les coordonnées homogènes de $X$ ?
(on a plus haut dans l'énoncé : " Notant par $(x:y:z)$ les coordonnées homogènes relatives à cette base ...", mais pas sûr de voir ce que ça apporte)
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Réponses
Si $(x:y:z)$ est une solution alors $(\lambda x:\lambda y :\lambda z)$ aussi. Il suffit peut-être d'égaliser les 2 équations.
exprime $y$ et $z$ en fonction de $x$ .
Cela dit, je m'interroge sur le lien avec le fait de "rajouter une coordonnées" pour "homogénéiser" des coordonnées (ie passer de $(x:y:z)$ à $(x:y:z:1)$. C'est quelque chose que j'ai lu dans mon cours mais que je n'ai pas bien compris. Quelqu'un aurait une piste ?
Tu mélanges beaucoup de choses
$P(V)$ est l'ensemble des droites vectorielles épointées de l'espace vectoriel $V$.
Si $d$ est une telle droite , le vecteur $u=xe_1+ye_2+ze_3$ est un vecteur directeur de $d$.
Les composantes $(x,y,z)$ du vecteur directeur $u$ de $d$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$ de $V$ sont les coordonnées homogènes de $d$ dans la base en question. Elles ne sont définies qu'à un scalaire multiplicatif non nul près.
Que ces droites $d$ forment un plan projectif, c'est presque une définition
Si tu veux déshomogénéiser ces coordonnées, tu coupes la droite $d$ de coordonnées homogènes $(x:y:z)$ par le plan d'équation $z=1$ pour obtenir le point $(\frac xz,\frac yz,1)$ que tu projettes sur le point $(\frac xz,\frac yz)$ de $\mathbb R^2$
Inversement partant du point $(x,y)$ de $\mathbb R^2$, tu commences par augmenter les coordonnées pour obtenir le point $(x,y,1)$ auquel tu associes la droite de coordonnées homogènes $(x:y:1)$.
Tu n'obtiens pas ainsi toutes les droites de $P(\mathbb R^3)$, tu dois rajouter les droites de coordonnées homogènes $(x:y:0)$ qui vont donner la droite de l'infini.
[small]p[/small]appus