Géométrie différentielle(relativité générale)
Bonjour,
quelqu'un peut-il m'expliquer l'obtention de l'expression 5.83, en particulier le coefficient $3$ devant $\alpha$ ?
Il semble que l'auteur ait fait un DL de type $(1+x)^{1/2}$ de l'expression 5.82, mais je ne vois pas trop quelles approximations il a faites ?
Merci.
Source : Principes variationnels & Dynamique, JL Basdevant.
quelqu'un peut-il m'expliquer l'obtention de l'expression 5.83, en particulier le coefficient $3$ devant $\alpha$ ?
Il semble que l'auteur ait fait un DL de type $(1+x)^{1/2}$ de l'expression 5.82, mais je ne vois pas trop quelles approximations il a faites ?
Merci.
Source : Principes variationnels & Dynamique, JL Basdevant.
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Réponses
Bonjour.
J'arrive à saisir le début, avec
$ds^2 = c^2dt^2(1- 2\alpha -(...))$ donc $ds = c\ dt (1 - \alpha -\frac 1 2 (...))$ avec un DL à l'ordre 1.
mais il y a certainement une typo (oubli de diviser par $dt$ dans la parenthèse, rectifié en (5.84) avec les dérivées par rapport à t qui ont réapparu. Et de plus, je ne vois pas d'où pourrait provenir le 3 du $1+3\alpha$. Qui se retrouve à la formule suivante.
Cordialement.
Mais une fois cela rectifié, d'où sort le 3 ?
Du coup, on peut faire le DL ainsi :
\[\begin{align}
ds&= \sqrt{(1-2\alpha)c^2 dt^2 + (1+2\alpha)(dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\, d\phi^2))}\\
&= c\, dt \sqrt{1-2\alpha}\sqrt{1+\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \times \frac{1}{c^2}(\dot{r}^2+ r^2 \dot{\theta}^2+\sin^2 \theta\, \dot{\phi}^2)}\\
&\approx c\, dt (1-\alpha) \left(1+\frac{1+4\alpha}{2c^2}\left(\dot{r}^2+ r^2 \dot{\theta}^2+\sin^2 \theta\, \dot{\phi}^2 \right)\right)\\
&\approx (1-\alpha)c+\frac{1+3\alpha}{2c}\left(\dot{r}^2+ r^2 \dot{\theta}^2+\sin^2 \theta\, \dot{\phi}^2 \right) dt
\end{align}\]
L'auteur du texte avait bien caché sa méthode ! Et qu'est-ce qui peut justifier de factoriser aussi le $1-2\alpha$ ? Ah, c'est le fait qu'il apparaît dans le terme de genre temps ? Mais en quoi la méthode que je proposais serait-elle incorrecte (on ne trouve que $2\alpha$ !) ?
Cordialement.
@bisam : (tu)