Continuité du volume

En fait la continuité du volume revient à la deuxième question.

Soit $K$ un corps convexe de $\mathbb{R}^n$. Soit $\varepsilon>0$.
Soit $L$ un autre corps convexe, tel que $d_H(K,L)\leqslant\varepsilon$ où $d_H$ est la distance de Hausdorff.

Alors il découle de la définition de la distance de Hausdorff que $K\subset L+\varepsilon\mathbb{B}(0,1)$ et $L\subset K+\varepsilon\mathbb{B}(0,1)$.
D'où $K\subset L+\varepsilon\mathbb{B}(0,1)\subset K+2\varepsilon\mathbb{B}(0,1)$

Par croissance du volume, $V(K)\leqslant V\big( L+\varepsilon\mathbb{B}(0,1)\big)\leqslant V\big( K+2\varepsilon\mathbb{B}(0,1)\big)$.

Donc si on montre que $V(K)$ et $V\big( K+2\varepsilon\mathbb{B}(0,1)\big)$ sont $\varepsilon$-proches, c'est gagné !


Bref, tout ça pour dire que la continuité du volume est équivalente à ma deuxième question ^^

Je précise que le + désigne la somme de Minkowski, c'est-à-dire que : $K+L=\big\{k+\ell~/~(k,\ell)\in K\times L\big\}$.

Alors euh ... je me rends compte que j'ai encore un petit problème ^^'

En fait, si $V(K)\leqslant V(L)$ alors on a bien l'encadrement $V(K)\leqslant V(L)\leqslant V(K+\delta~\mathbb{B}(0,1))\leqslant V(K)+\varepsilon$.

Mais si $V(L)\leqslant V(K)$, j'arrive à rien dire.
Pour être plus exact, j'ai $V(L)\leqslant V(K)\leqslant V(L+\delta~\mathbb{B}(0,1))$ et ... je suis coincé ! Si je veux démontrer la continuité du volume en $K$, je peux pas choisir $\delta$ en fonction de $L$. Ordre des quantificateurs tout ça tout ça.


Du coup j'ai essayé une autre méthode.
Soit $K$ un corps convexe et $(L_k)_k$ une suite convergeant vers $K$.

Par les mêmes arguments que dans la méthode précédente, on a :
$V(K)\leqslant V(L_k+d_H(K,L_k)~\mathbb{B}(0,1))\leqslant V(K+2d_H(K,L_k)~\mathbb{B}(0,1))\rightarrow V(K)$

On montre donc $V(L_k+d_H(K,L_k)~\mathbb{B}(0,1))\rightarrow V(K)$.

Il "suffit" donc de montrer que $\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}V(L_k+d_H(K,L_k)~\mathbb{B}(0,1))=\lim_{k\rightarrow +\infty}V(L_k)$.


C'est mieux. Mais c'est encore plus compliqué !! (je trouve)

Si quelqu'un a une idée, je suis preneur.

Manifestement, la convexité de $K$ et $L$ va jouer un rôle important (sinon on peut construire des contre-exemples un peu bizarres).
Je n'en démords pas (encore).

C'est une excellente idée ça !

Alors il y a de petites subtilités car si $K$ est de dimension $n-1$ et $L$ est de dimension $n$, ils peuvent être potentiellement très proches au sens de la distance de Hausdorff sans pour autant qu'il soit possible de dilater/translater $K$ d'une quelconque manière pour qu'il englobe $L$.

Mais ça au pire c'est pas grave : si $K$ n'est pas de dimension maximale, alors $V(K)=0\leqslant V(L)$ et on se retrouve dans le cas facile.

Bref, ça m'a l'air un peu subtil à écrire. Je reviens vers vous quand j'ai une idée intelligente.

Bonsoir

Comme promis je reviens vous écrire en détail la preuve de la propriété $(*)$ suivante :

Soient $K$ et $L$ deux corps convexes de $\mathbb{R}^n$ (=des compacts convexes non vides).
On suppose que $\dim K=n$.

Soit $\varepsilon>0$.
Il existe $\delta>0$ tel que :
\[d_H(K,L)\leqslant\delta\Longrightarrow\exists\lambda\in [1;1+\varepsilon],~\exists w\in\mathbb{R}^n,~\left\{\begin{array}{l}K\subset \lambda L+w\\
L\subset \lambda K+w\end{array}\right.\].
Je vous rappelle que $d_H$ désigne la distance de Hausdorff : $d_H(K,L)=\inf\big\{\alpha\geqslant 0~\big/~K\subset L+\alpha\mathbb{B}(0,1)\text{ et }L\subset K+\alpha\mathbb{B}(0,1)\big\}$.


Comme je vous l'avais dit il y a un certain temps, il va nous falloir un certain nombre de propriétés préliminaires. Déjà définissons la fonction de support d'un corps convexe $K$.
\[h_{K} : \begin{array}{ccc}
(\mathbb{R}^n)^* & \rightarrow & \mathbb{R}\\
\nu & \mapsto & \max_{x\in K}{\langle x,\nu\rangle}
\end{array}
\].

La fonction de support est un outil fondamental dans l'étude des corps convexes, notamment à cause de cette propriété :
\[\forall x\in\mathbb{R}^n,~\big(x\in K \Leftrightarrow \forall\nu\in\mathbb{S}^{n-1},~\langle x,\nu\rangle\leqslant h_K(\nu)\big)\]
Le sens direct est trivial et le sens réciproque est une conséquence de la forme géométrique du théorème de Hahn-Banach.

Et cette propriété a un corollaire qui va nous être bien utile :
Soient $K$ et $L$ deux corps convexes de $\mathbb{R}^n$.
\[K\subset L \Longleftrightarrow \forall\nu\in\mathbb{S}^{n-1},~h_K(\nu)\leqslant h_L(\nu)\]

Et c'est pas fini ! Il faut aussi remarquer que la fonction de support a une régularité très appréciable ! En effet, la fonction $K\mapsto h_K$ est continue selon les métriques de Hausdorff (pour l'ensemble de départ des corps convexes de $\mathbb{R}^n$) et la norme $\displaystyle ||f||_{+\infty}=\sup_{\nu\in\mathbb{S}^{n-1}}|f(\nu)|~~$ (pour l'espace d'arrivée).

Allez ça on va se fatiguer à le montrer quand même :

Soient $K$ et $L$ deux corps convexes. Soit $\varepsilon>0$.
On suppose que $d_H(K,L)\leqslant\varepsilon$.
Alors $\left\{\begin{array}{l}
K\subset L+\varepsilon\mathbb{B}(0,1)\\
L\subset K+\varepsilon\mathbb{B}(0,1)
\end{array}\right.$.

D'où $\forall\nu\in\mathbb{S}^{n-1},~h_K(\nu)\leqslant h_{L+\varepsilon\mathbb{B}(0,1)}(\nu)\leqslant h_L(\nu)+\varepsilon$. De même $\forall\nu\in\mathbb{S}^{n-1},~h_L(\nu)\leqslant h_K(\nu)+\varepsilon$.

Ainsi $\forall\nu\in\mathbb{S}^{n-1},~h_L(\nu)-\varepsilon\leqslant h_K(\nu)\leqslant h_L(\nu)+\varepsilon$. On a bien montré que $||h_K-h_L||_{+\infty}\leqslant\varepsilon$.


Ah oui et dernier petit truc qui nous sera utile : un corps convexe de dimension $n$ (maximale) est d'intérieur non vide.


Voilà il me semble que c'est tout pour les résultats préliminaires. Je fais encore un peu traîner le suspense je mettrai la preuve complète de la propriété $(*)$ qui nous intéresse vraiment demain


PS : pitié comment fait-on pour enlever ces fichues barres verticales après un morceau de script LaTeX ?