Une propriété de courbes convexes fermées ?

Bonjour,
Je regarde la propriété suivante sur une courbe convexe fermée et de $A$ le domaine dont elle définit la frontière (convexe au sens où la courbe totale est toujours dans un demi-plan).
En examinant les courbes de niveaux de $x\mapsto d(x, A)$, la longueur de la courte de niveau de $x\mapsto d(x, A)$ est $L+\pi . T,$ où $T$ est un un nombre positif donné, justement par $d(B, A),$ où $B$ est $\{x \mid d(x,a)=T\}$, j'appelle $P$ cette propriété.
Je sais que c'est vrai pour un cercle, un carré, plus généralement un polygone convexe,

La conjecture est : $P$ est vraie pour les courbes convexes fermées qui sont à courbures constantes par morceaux.

Je voudrais si cela est possible avoir :
- un contre-exemple qui nécessite peu de calculs pour une courbe convexe fermée où la propriété $P$ ne serait pas vérifiée.

J'ai testé avec un triangle de Reuleaux, et la propriété est vraie.
Je me demande si la propriété reste vraie en prenant la classe des courbes convexes fermées où la courbure est dénombrable (donc éventuellement un contre-exemple, ou votre avis/intuition dessus).
Merci.