Points de Feuerbach et cocyclicité

% Bouzar - 17 mai 2020 - Points de Feuerbach et cocyclicité

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syms a j 
syms t real

b=a*j;
c=a*j^2;

jB=1/j;

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

d=b+t*(c-b);
dB=bB+t*(cB-bB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Quelques milieux

m=(b+c)/2;
bp=(c+a)/2;
cp=(a+b)/2;
dp=(a+d)/2;
b1=(b+d)/2;
c1=(c+d)/2;

mB=(bB+cB)/2;    % Les conjugués
bpB=(cB+aB)/2;
cpB=(aB+bB)/2;
dpB=(aB+dB)/2;
b1B=(bB+dB)/2;
c1B=(cB+dB)/2;

[ob obB Rb2]=CercleTroisPoints(cp,dp,b1,cpB,dpB,b1B); % Cercle d'Euler du triangle C' D' B_1
[oc ocB Rc2]=CercleTroisPoints(bp,dp,c1,bpB,dpB,c1B); % Cercle d'Euler du triangle C' D' C_1

% On trouve:

ob=j*a*(1-t)/2;
oc=j^2*a*t/2;

obB=j^2*(1-t)/(2*a);
ocB=j*t/(2*a);

% M est sur ces deux cercles:

Nulb=Factor((m-ob)*(mB-obB)-Rb2)  % Contient j^2+j+1 en facteur, donc oui
Nulc=Factor((m-oc)*(mB-ocB)-Rc2)  % Contient j^2+j+1 en facteur, donc oui

% Le centre de chacun de ces deux cercles est sur l'autre:

Nulb=Factor((oc-ob)*(ocB-obB)-Rb2)  % Contient j^2+j+1 en facteur, donc oui
Nulc=Factor((ob-oc)*(obB-ocB)-Rc2)  % Contient j^2+j+1 en facteur, donc oui

% O_B est sur (OB) et O_C est sur (OC):

Nulb=Factor(b*obB-bB*ob)  % Contient j^2+j+1 en facteur, donc oui
Nulc=Factor(c*ocB-cB*oc)  % Contient j^2+j+1 en facteur, donc oui

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% Le point de Feuerbach du triangle ABD est un point d'intersection de son cercle d'Euler
% et de la droite (OB)

syms x xB

xB=x*bB/b;

Eqx=numden(Factor((x-ob)*(xB-obB)-Rb2)); 

Eqx=collect(Eqx,x)

% On trouve A x^2 - 2*B x + C = 0 avec:

A=4*j;
B=2*j^2*a*(1 - t);
C=-a^2*t;

D=Factor(B^2-A*C) % Discriminant

% On trouve, compte tenu que j^4=j et j^3=1:

D=4*j*a^2*(t^2 - t + 1)
 
% Les solutions sont donc (B-sqrt(D))/A et (B+sqrt(D))/A, c'est à dire:

x=2*j*a*((1 - t)+sqrt(t^2-t+1))/4;
xa=2*j*a*((1 - t)+sqrt(t^2-t+1))/4;

% Et donc:

xB=2*j^2*((1 - t)+sqrt(t^2-t+1))/(4*a);
xaB=2*j^2*((1 - t)-sqrt(t^2-t+1))/(4*a);

% Et de même pour le triangle ACD:

y=2*j^2*a*(t+sqrt(t^2-t+1))/4;
ya=2*j^2*a*(t-sqrt(t^2-t+1))/4;

yB=2*j*(t+sqrt(t^2-t+1))/(4*a);
yaB=2*j*(t-sqrt(t^2-t+1))/(4*a);

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% Les 4 points D, M, X, Y sont cocycliques

Bi=Birapport(d,m,x,y);
BiB=Birapport(dB,mB,xB,yB);

NulBi=Factor(Bi-BiB)    % Contient j^2+j+1 en facteur, donc c'est gagné

% Il en est de même des points D, M, X_A, Y_A

Bia=Birapport(d,m,xa,ya);
BiaB=Birapport(dB,mB,xaB,yaB);

NulBia=Factor(Bia-BiaB)    % Contient j^2+j+1 en facteur, donc c'est oui aussi