Polygones inscriptibles de côtés 1,2,3,..,n

Ludwig
Ludwig
dans Géométrie
Bonsoir,
Ci-joint le quadrilatère inscriptible de côtés 1, 2, 3 et 4. Facile à construire puisque son sommet $C$ est sur la droite d'équation $x=0,8$ (avec $A(0,0)$ et $B(1,0)$. Notez que son aire est égale à la racine carrée du produit des longueurs de ses côtés, c'est à dire à $\sqrt{24}$.
Je propose de chercher la construction du pentagone inscriptible de côtés 1, 2, 3, 4 et 5. Et des polygones suivants..102480

Réponses

  • Bouzar
    Bouzar
    Bonjour Ludwig,

    Cordialement102500
  • Ludwig
    Ludwig
    Bonjour Bouzar,
    Ton polygone n'est pas je pense inscriptible dans un cercle. Je ne sais pas si un tel pentagone existe, encore moins les suivants. Auquel cas je propose d'étudier la suite $(U)_n$, $U_n$ étant le plus petit entier tel que le polygone de côtés 1, 2, 3, $n$,..., $U_n$ (dans cet ordre) soit inscriptible dans un cercle ($n>2$).
    Autre problème : chercher le ou les polygones inscriptibles de côtés 1, 2, 3,..., $n$, ces longueurs pouvant être dans un ordre différent.
  • Ludwig
    Ludwig
    En fait si, ces polygones existent quel que soit l'entier $n>3$. Et leur cercle associé permet également d'inscrire les polygones avec les mêmes côtés, mais dans n'importe quel ordre. Il serait donc plus logique d'étudier la suite $r_n$ des rayons.
  • JLT
    JLT
    Voici les valeurs approchées de $r_n$ pour $n=4,\ldots,10$ :

    2.0026025
    2.7175672
    3.6463091
    4.7475373
    6.0132405
    7.4407568
    9.0289378

    On peut montrer que $r_n\sim \dfrac{n^2}{4\pi}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
  • soland
    soland
    Les quadrilatères inscriptibles et circonscriptibles vérifient $S^2=abcd$ .C'est facile à faire ici :
    on trace les rayons $OA$ , $OA$ , $OA$ , $OA$
    et on réarrange les triangles isocèles $AOB$ etc.
  • Ludwig
    Ludwig
    $r_4=\frac{1}{24}\sqrt{2310}$
  • Ludwig
    Ludwig
    Les $r_n$ sont-ils algébriques ? Si oui, comment trouver leur polynôme minimal ? Je serais bien curieux d'ailleurs de savoir comment a été trouvé le polynôme minimal de degré 10 du nombre égal à l'aire de l'hexagone de Graham. On pourrait peut-être utiliser une technique similaire ici.
  • JLT
    JLT
    Oui ces nombres sont algébriques. Supposons que l'angle au centre interceptant la corde de longueur $k$ soit égal à $2\alpha_k$. Alors $k=2r_n\sin\alpha_k$ donc $\sin\alpha_k=\lambda_n k$ où $\lambda_n=\frac{1}{2r_n}$, et $\cos\alpha_k=\sqrt{1-\lambda_n^2k^2}$.

    On peut exprimer $0=\sin(\alpha_1+\cdots+\alpha_n)$ comme une fonction polynomiale en $\sin\alpha_k$ et $\cos\alpha_k$, donc en éliminant les racines carrées on voit que $\lambda_n$ est algébrique.

    SI on préfère, on peut écrire $\sin(\sum_{k\in I}\alpha_k)=\sin(\sum_{k\notin I}\alpha_k)$ pour une partie $I$ bien choisie, ça peut alléger un peu les calculs mais je ne vois pas de méthode très astucieuse.
  • Ludwig
    Ludwig
    Oui d'accord. Les calculs sont monstrueux ! Je ne connais pas la puissance des logiciels, mais viendrait-on à bout du calcul du polynôme pour $r_5$ ? Pas sûr.. en plus il faudrait le factoriser..
  • Ludwig
    Ludwig
    On peut imaginer faire la même construction circulaire à partir de n'importe quelle suite, pas seulement celle des entiers naturels. Mais il ne faudra pas que cette suite croisse trop vite, car alors il sera impossible d'obtenir la cocyclité. Aussi je propose d'étudier la suite $(S)$ d'entiers définie par : $S_1=1$, $S_2=2$, $S_3=3$ et, pour tout $n>3$, $S_n$ est le plus grand entier tel que le polygone dont les côtés mesurent $1$,$2$,$3$,...., $S_n$ soit inscriptible. Si mes résultats sont exacts j'ai trouvé $S_4=4$, $S_5=6$, $S_6=10$ et $S_7=17$. Est-il possible de trouver la formule du terme générale de cette suite ? Un équivalent à l'infini ?
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonjour à tous,
    Ludwig, me vient l'idée qu'il serait peut-être plus facile de raisonner sur une suite de progression géométrique plutôt qu'arithmétique ... avec une raison comprise entre 1 et 2 ...
    Bien cordialement
    JLB
  • Ludwig
    Ludwig
    Oui c'est vrai c'est une bonne idée. Prenons donc la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $r$. Pour qu'il y ait cocyclicité il faut que $r^n$ soit plus petit ou égal au diamètre du plus grand demi-cercle associé à une ligne brisée formée des $n-1$ premiers segments. La longueur de cette ligne brisée étant $1+r+r^2+\cdots +r^{n-1}= \frac{r^{n}-1}{r-1}$, on obtient l'inégalité $\pi r^{n}\leq\frac{r^{n}-1}{r-1}$, c'est-à-dire $r\leq1+\frac{1}{\pi}\approx1,318$.
  • JLT
    JLT
    Si je ne me suis pas trompé, la suite $S_n$ se calcule en définissant par récurrence $S_{n}$ comme la partie entière de l'inverse de la solution de $\sum_{k=1}^{n-1}\mbox{arcsin}(S_k x)=\frac{\pi}{2}$. Les premières valeurs de la suite sont

    1. 2. 3. 4. 6. 10. 17. 28. 46. 77. 127. 211. 350. 581. 965. 1601. 2657. 4410. 7319. 12147.

    Il semble que $\ln(S_n)\sim \frac{n}{2}$. Edit: peut-être pas, voir prochain message.

    Edit: faute de frappe corrigée (remplacement de $S_{n+1}$ par $S_n$)
  • Ludwig
    Ludwig
    Je trouve aussi les valeurs 28, 46 et 77 expérimentalement. La définition que tu as donnée est celle de $S_n$ plutôt non ?
  • JLT
    JLT
    Oui c'est ça j'ai corrigé. Et en fait il me paraît vraisemblable que $\ln S_n\sim n\ln(1+\frac{2}{\pi})$.
  • Ludwig
    Ludwig
    Soit $a=\left\{ n_1, n_2, ... ,n_k \right\}$ un ensemble de $k$ entiers naturels ($k\ge3$). Je construis, lorsque cela est possible, le polygone inscriptible dont les côtés sont de longueur $n_1$, $n_2$, ... ,$n_k$. Je note alors $R_a$ le rayon du cercle circonscrit.
    Peut-il exister un ensemble $b \neq a$ tel que $R_a= R_b$ ?
  • JLT
    JLT
    Bien sûr. Les rectangles $7\times 1$ et $5\times 5$ sont inscrits dans des cercles de même rayon.
  • JLT
    JLT
    Ou si on veut des longueurs distinctes, on trouve des entiers $a,\ldots, h$ tel que $a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2=g^2+h^2$ et les quadrilatères $(a,b,c,d)$ et $(e,f,g,h)$ conviennent.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 29

AmadouCyranoMilasVassilliabiguine_equationgai requinjohn_johnzeste +21 Invités