Équation d'un mécanisme articulé
Bonjour !
J'aurais besoin de quelques conseils car mes connaissances ne sont plus très fraîches et j'ai du mal à travailler.
https://image.noelshack.com/fichiers/2020/21/4/1590081579-mecanisme-01.png
J'aimerais écrire le modèle mathématique d'un système articulé (voir photo) qui respecterait les hypothèses suivantes :
- Le triangle ABC est immobile.
- Le triangle DEF est mobile.
- Le point G se déplace uniquement horizontalement.
- Les segments BE, CD et FG sont de longueur constante.
Ce que je veux connaître exactement, c'est Cx(Gx), soit l’abscisse de D en fonction de l’abscisse de G (et je pourrai en déduire l'ordonnée de D).
Jusque là j'ai essayé de faire ça étape par étape (D en fonction de E et B, F en fonction de G et D), mais à chaque fois le problème devient ingérable (équations extrêmement longues) et je n'arrive pas à en extraire les variables qui m'intéressent.
Il me faut donc un coup de main pour mieux m'organiser, et des conseils sur la méthode de résolution à privilégier.
Je vous remercie d'avance pour votre assistance !
Pour l'instant je suis parvenu à écrire les équations suivantes:
- Dy(Dx) par l'équation d'un cercle de rayon CD.
- Ey(Ex) par l'équation d'un cercle de rayon BE.
- Fy(Fx) par l'équation d'un cercle de rayon GF.
Je commence à avoir des difficultés au moment d'essayer de "relier" ces équations. Je peux écrire des équations similaires (par exemple Ey(Ex) par l'équation d'un cercle de rayon DE), mais au moment de les rassembler j'obtiens des polynômes extrêmement longs et dont je ne peux pas extraire une variable voulue. J'ai sûrement un problème de méthode.
Concernant l'usage que je compte faire de cette équation : il s'agit de connaître l'effort horizontal subi au point G en fonction de sa position, sachant que tout est considéré rigide excepté le segment CD, déformable.
J'aurais besoin de quelques conseils car mes connaissances ne sont plus très fraîches et j'ai du mal à travailler.
https://image.noelshack.com/fichiers/2020/21/4/1590081579-mecanisme-01.png
J'aimerais écrire le modèle mathématique d'un système articulé (voir photo) qui respecterait les hypothèses suivantes :
- Le triangle ABC est immobile.
- Le triangle DEF est mobile.
- Le point G se déplace uniquement horizontalement.
- Les segments BE, CD et FG sont de longueur constante.
Ce que je veux connaître exactement, c'est Cx(Gx), soit l’abscisse de D en fonction de l’abscisse de G (et je pourrai en déduire l'ordonnée de D).
Jusque là j'ai essayé de faire ça étape par étape (D en fonction de E et B, F en fonction de G et D), mais à chaque fois le problème devient ingérable (équations extrêmement longues) et je n'arrive pas à en extraire les variables qui m'intéressent.
Il me faut donc un coup de main pour mieux m'organiser, et des conseils sur la méthode de résolution à privilégier.
Je vous remercie d'avance pour votre assistance !
Pour l'instant je suis parvenu à écrire les équations suivantes:
- Dy(Dx) par l'équation d'un cercle de rayon CD.
- Ey(Ex) par l'équation d'un cercle de rayon BE.
- Fy(Fx) par l'équation d'un cercle de rayon GF.
Je commence à avoir des difficultés au moment d'essayer de "relier" ces équations. Je peux écrire des équations similaires (par exemple Ey(Ex) par l'équation d'un cercle de rayon DE), mais au moment de les rassembler j'obtiens des polynômes extrêmement longs et dont je ne peux pas extraire une variable voulue. J'ai sûrement un problème de méthode.
Concernant l'usage que je compte faire de cette équation : il s'agit de connaître l'effort horizontal subi au point G en fonction de sa position, sachant que tout est considéré rigide excepté le segment CD, déformable.
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Réponses
Tu peux prendre 4 variables : xD, yD, $\theta$ (position et orientation du triangle mobile) et xG. Tu as trois équations qui lient ces quatre variables. Tu élimines yD et $\theta$ entre ces trois équations, et tu récupères une équation algébrique liant xD et xG. Pas évident qu'elle soit très sympa, cette équation. Il convient bien sûr de traiter cela dans un système de calcul formel. Pour ma part, j'utilise SageMath.
L'espace des configurations de ton mécanisme va donc âtre un revêtement double de la sextique, ramifié en un certain nombre de points.
Quel est l'usage de ce mécanisme ? Comment est-il actionné ? Par l'articulation prismatique qui contrôle la position de G ?
J'attaque tout ça ce soir et je n'oublierai pas de vous montrer les résultats (ou revenir en cas de souci ^^)
Il s'agit du modèle mathématique d'un arc composite spécial inspiré de l'ONEIDA EAGLE ; ce dispositif est répliqué symétriquement au-dessous de l'axe horizontal
- FG représente la moitié de la corde.
- ABC représente le corps d'arc.
- CD représente une branche (élastique, encastrée en C ; c'est d'elle que vient la force de l'arc).
- EDF représente une bascule fixée à la branche CD par une articulation.
- BE représente un câble.
Lorsqu'on bande l'arc, le basculement de DEF est censé produire un effet de came (comme sur un arc à poulies, qui sont généralement des cames d'ailleurs) : plus D se rapproche de BE, plus l'effort de torsion subi par DEF s'amoindrit.
Après la résolution "géométrique" de ce mécanisme, il faudra encore que je modélise les efforts subis à chaque point ; je pense être plus à l'aise à ce moment, mais ça va me donner beaucoup de travail quand même! ^^
La suite de la conception conditionnera certainement la position de certains points de ce mécanisme, et ensuite il faudra que je choisisse les dimensions restantes (principalement la position de B et la forme de DEF, à mon avis) pour optimiser la force horizontale sur G en fonction de sa position (pour qu'un maximum d'énergie soit transmis à la flèche, et aussi pour le confort de l'archer.
GaBuZoMeu écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2012706,2012946#msg-2012946
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je n'arrive pas à trouver trois équations qui lient xD, yD, theta et xG et qui puissent être combinées en faisant disparaître yD et theta (actuellement il me reste toujours theta ; je peux l'exprimer en fonction de xD et xF avec arctan, mais pas plus).
J'ai posé les sept équations suivantes:
Je rencontre souvent le même problème : quand j'essaie de combiner plusieurs équations, je finis par avoir des fonctions "auto-récursives" (la fonction est un paramètre d'elle-même), c'est très bizarre.
En essayant encore, je suis en train d'en venir à une équation tellement longue qu'il faudrait plusieurs pages pour l'écrire.
Dans mon souvenir les quadrilatères articulés étaient plus simples que ça. J'ai besoin d'un coup de pouce je pense...
À votre avis, y a-t-il des chances que j'aie besoin d'utiliser des équations différentielles pour résoudre ça?
Les équations donnent un polynôme du second degré puis une équation trigonométrique.
J'utilise les notations de l'animation ci-dessus :
Voici la méthode :
- On note $\displaystyle \gamma$ l'angle polaire de $\displaystyle CE$,
- On note $\displaystyle \beta$ l'angle polaire de $\displaystyle BD$,
- On note $\displaystyle c = |CE|, b = |BD|, f=|ED|, e=|DF|, d=|EF|, g=|FG|.$
On part de $\displaystyle C$ et $B$ pour aboutir à $F$ selon $\beta, \gamma.$ On obtient une équation du second degré pour les coordonnées de $F.$
Après résolution, on reporte les coordonnées de $F$ dans une des équations pour obtenir $\beta$ et donc l'abscisse de $D.$ L'équation en $\beta$ est l'équation trigonométrique.
Puis en obtient les coordonnées de $G$ car c'est l'intersection du cercle de centre $F$ et de rayon $g$ avec la droite d'ordonnée $0.$
Calculs :
On a immédiatement :
$\displaystyle C = (x_C, y_C), B = (x_B,y_B), E = (x_C+c \cos \gamma, y_C + c\sin \gamma), D=(x_B+b \cos \beta, y_B+b \sin \beta).$
Et on calcule la distance : $\displaystyle f^2 = (x_C-x_B+ c \cos \gamma-b \cos \beta)^2 +(y_C-y_B+ c \sin \gamma-b \sin \beta)^2 .$ Cette relation impose une relation entre $\gamma$ et $\beta$ comme il se doit.
On calcule alors les autres distances dans le triangle $DEF$ :
$\displaystyle d^2 = (x_F-(x_C+c \cos \gamma)^2 + (y_F-(y_C+c \sin \gamma)^2.$
$\displaystyle e^2 = (x_F-(x_B+b \cos \beta)^2 + (y_F-(y_B+b \sin \beta)^2.$
Ces deux équations forment un système du second degré pour $x_F$ et $y_F$ selon les angles $\beta, \gamma$ pris comme paramètres.
Pour la resolution :
C'est de la forme $\displaystyle d^2=(x-a)^2+(y-A)^2, e^2 =(x-b)^2+(y-B)^2$
Par différence : $\displaystyle d^2-e^2 = (b-a)(2 (x-a)-(b-a)) + (B-A)(2 (y-A)-(B-A)) $ et donc $\displaystyle 2(y-A) = {d^2 - e^2 \over B-A} + B-A - {b-a \over B-A} (2 (x-a)-(b-a)) .$ On reporte et on obtient une équation du second degré en $\displaystyle x-a$ et on reporte encore pour trouver $\displaystyle y-a.$
On obtient donc $\displaystyle x_F$ et $\displaystyle y_F$ selon les angles $\displaystyle \beta, \gamma.$
La relation $\displaystyle f^2 = (x_C-x_B+ c \cos \gamma-b \cos \beta)^2 +(y_C-y_B+ c \sin \gamma-b \sin \beta)^2$ est de la forme $A \cos \beta + B \sin \beta = C$ que l'on sait résoudre : on obtient donc $\beta$ selon $\gamma.$
On reporte dans les coordonnées de $F$ pour obtenir $\displaystyle x_F, y_F$ selon $\gamma.$
On passe alors à $G$ : on calcule la distance $\displaystyle g^2 = (x_G-x_F)^2 + (y_G-y_F)^2 $ avec $\displaystyle y_G=0.$
On a donc $\displaystyle G=(x_F + \sqrt{g^2-y_F^2}, 0).$
Comme $x_G$ dépend de $\gamma$ on peut paramétrer selon $x_G$ au lieu de $\gamma.$
Voila !
Je suis en train de regarder tout ça ;D
(Juste un truc: il faut que tu fasses attention avec l'attribution des variables, parce que tu as utilisé deux fois "b")
C'est très bizarre : quand je fais le développement je procède à peu près de la même manière (mais sans angles, juste avec des polynomes basés sur l'équation du cercle). C'est pour cette raison que mes équations finissent par mesurer un mètre cinquante de longueur? =(
Bordel, ça m'aurait pris moins de temps de construire un mécanisme! Ca fait une semaine et demie que je suis sur cette merde! ^^
De mon côté, à ce stade j'arrive à exprimer F en fonction des coordonnées de C et D, mais tous les termes de l'expression apparaissent plusieurs fois et sont imbriqués dans des racines carrées ou des fractions, c'est pratiquement impossible de les isoler, du coup je ne peux pas aller plus loin!
- J'ai pensé à élever le tout au carré (attention, introduction de solutions étrangères, blablabla...) puis tenter de résoudre ça (équation du deuxième degré) avec le discriminant, mais ça me remet des racines dans le résultat et je crois même que ça devient encore plus long.
Si on fixe les paramètres, le calcul se passe quasi-instantanément. Voic le code Sagemath.
Il ne reste plus qu'à éliminer les variables yD, c, s. On vérifie que l'idéal d'élimination est principal, et on demande son générateur avec Voila le résultat : Degré 6 en xD, pas terrible !
Il y a un tas de trucs que vous faites (introduire des angles, utiliser des repères différents...) dont je ne comprends pas du tout l'intérêt, par contre. Pourquoi tu travailles avec un repère fixe et un repère mobile? Qu'est-ce que ça apporte concrètement?
__________________________________________
J'ai essayé une nouvelle approche en utilisant l'angle theta tel que défini sur l'image que j'ai postée (en gros, angle absolu entre l'horizontale et le segment DF.
Je suis capable d'exprimer theta en fonction de Fx, Dx et Gx et en fonction de Ex, Dx et Gx, mais il est pratiquement impossible d'extraire Fx et Ex des équations (de deux ou trois lignes chacune) que j'obtiens (à moins de passer par des trucs bizarres comme la transformation de Laplace ou la décomposition en fractions simples, mais je ne suis pas capable d'essayer pour vérifier ; si vous avez un avis je suis preneur...).
Comme au terme de chacune de mes tentatives, j'ai une énorme pile de fonctions à deux variables, mais impossible de les combiner pour en sortir ce qui m'intéresse...
Effectivement, le degré 6 était prévisible : si on fixe G, le triangle mobile est lié aux trois points fixes B,C,G par trois barres de longueurs données. Trouver les positions et orientations possibles du triangle mobile est un problème classique en cinématique des robots : le problème géométrique direct pour un 3-RPR plan. Il est bien connu (des roboticiens) que c'est un problème de degré 6. C'est lié au fait que la "coupler curve" est une sextique tricirculaire et qu'un cercle coupe une sextique tricirculaire en six points (réels ou complexe) à distance finie.
De façon sans doute stupide, je verrai un mécanisme articulé comme ça : dans ton schéma, le quadrilatère BCDE serait un parallélogramme croisé (BC=DE et BE=CD) ; là, c'est beaucoup plus simple à analyser. Et puis il y aurait un ressort entre C et E, qui se tendrait quand on tire sur la corde. On peut même, soyons fous, avoir plusieurs modules de ce type empilés l'un sur l'autre.
Comme tu peux le constater, l'arc duquel je m'inspire est encore plus compliqué puisqu'il comporte une came au point B. C'est encore plus complexe!
Je n’utilise pas deux fois $b.$ Je note $b$ une longueur. Et, je dis qu’une équation est de la forme $x=b^2$ pour inventer un exemple. Il s’agit de la forme.
On sait $d^2=X^2+Y^2$. Quand tu trouves $X$ par un polynôme de degré deux, tu reportes dans cette équation pour trouver $Y$. Évident, non ?
Mon approche permet de trouver le résultat exact. A toi de faire les calculs si tu veux. Mais je ne sais pas si ils vont te servir parce que les expressions sont compliquées.
Bien sûr que je vais faire les calculs. Qu'est-ce que je peux faire d'autre?
Si tu cherches les forces les équations sont inextricables. Il faut passer en numérique. Tu peux alors résoudre numériquement pour les positions...
Est-ce qu'il existe des solveurs gratuits pour ça?
Tu peux faire des hypothèses sur l'architecture de ton mécanisme permettant de bien simplifier les calculs. Je t'en ai proposé une qui me semble raisonnable : que BCDE soit un parallélogramme croisé (ou antiparallélogramme). Tu peux voir sur cette page wikipedia une animation qui montre l'intérêt d'une telle configuration. Mais ça n'a pas l'air de t'emballer. Pourquoi ? Y a-t-il une raison technique ?
Par ailleurs, je n'ai toujours pas compris comment concrètement est créée la tension qui rappelle la corde dans ton mécanisme. J'imaginais bêtement un ressort qui se tend entre Cet E. C'est idiot ?
Dans le cas que nous étudions, il s'agit du segment CD, qui est encastré en C et qui restitue la charge en poussant le point D vers le haut (plus ou moins).
C'est un arc spécial que j'aimerais construire, c'est pour ça que j'ai besoin d'un modèle mathématique. Je ne veux pas juste construire une configuration au pif et ne jamais pouvoir l'optimiser.
Tu n’as pas le choix : étude numérique.
C’est la dure loi en physique : pour les concepts, on fait des maths. Pour la technologie, on calcule numériquement.
Essaie de chercher sur le net. Je serais étonné qu’il n’existe pas de logiciel pour ce genre de calculs mécaniques.
La modélisation géométrique avec articulation rotule en C et barre CD droite devient alors complètement foireuse, non ?
Cette hypothèse n'est valable que si la branche se déforme peu par rapport à ses autres dimensions.
Mais je n'ai pas choisi cette hypothèse sans raison : en résistance des matériaux, le modèle mathématique qui décrit la déformation d'une poutre en flexion (c'est le cas de la branche CD) suppose lui aussi que les déformations sont insignifiantes.
La flexion d'une poutre métallique dans un ouvrage ne me semble pas de même grandeur que la flexion attendue d'un arc.
Enfin, là je ne suis absolument pas dans mon domaine de compétence. Alors, à toi de voir ...
Oublie ton projet. Tu perds ton temps.
Les bons outils font les bons artisans.
Quoiqu'il en soit, je vais passer en mode concret et fabriquer un banc de test. Je vais l'avoir ma courbe! =D