Équation d'un mécanisme articulé

Quelques compléments : si tu coupes la barre FG, tu te retrouves avec un archi-classique système articulé 4-barres. La trajectoire (coupler curve) du point F est une sextique tricirculaire qui peut prendre des formes diverses et variées. F étant donné, il y a deux positions de G qui conviennent si la distance de F à l'axe des x est plus petite que la longueur de la barre FG.
L'espace des configurations de ton mécanisme va donc âtre un revêtement double de la sextique, ramifié en un certain nombre de points.

Quel est l'usage de ce mécanisme ? Comment est-il actionné ? Par l'articulation prismatique qui contrôle la position de G ?

Pas de feeling pour la fabrication de l'arc, mais un morceau du déplacement de ce mécanisme à un degré de liberté.

Bonjour,

Les équations donnent un polynôme du second degré puis une équation trigonométrique.

J'utilise les notations de l'animation ci-dessus :

Voici la méthode :
- On note $\displaystyle \gamma$ l'angle polaire de $\displaystyle CE$,
- On note $\displaystyle \beta$ l'angle polaire de $\displaystyle BD$,
- On note $\displaystyle c = |CE|, b = |BD|, f=|ED|, e=|DF|, d=|EF|, g=|FG|.$

On part de $\displaystyle C$ et $B$ pour aboutir à $F$ selon $\beta, \gamma.$ On obtient une équation du second degré pour les coordonnées de $F.$
Après résolution, on reporte les coordonnées de $F$ dans une des équations pour obtenir $\beta$ et donc l'abscisse de $D.$ L'équation en $\beta$ est l'équation trigonométrique.
Puis en obtient les coordonnées de $G$ car c'est l'intersection du cercle de centre $F$ et de rayon $g$ avec la droite d'ordonnée $0.$

Calculs :
On a immédiatement :
$\displaystyle C = (x_C, y_C), B = (x_B,y_B), E = (x_C+c \cos \gamma, y_C + c\sin \gamma), D=(x_B+b \cos \beta, y_B+b \sin \beta).$

Et on calcule la distance : $\displaystyle f^2 = (x_C-x_B+ c \cos \gamma-b \cos \beta)^2 +(y_C-y_B+ c \sin \gamma-b \sin \beta)^2 .$ Cette relation impose une relation entre $\gamma$ et $\beta$ comme il se doit.

On calcule alors les autres distances dans le triangle $DEF$ :
$\displaystyle d^2 = (x_F-(x_C+c \cos \gamma)^2 + (y_F-(y_C+c \sin \gamma)^2.$
$\displaystyle e^2 = (x_F-(x_B+b \cos \beta)^2 + (y_F-(y_B+b \sin \beta)^2.$

Ces deux équations forment un système du second degré pour $x_F$ et $y_F$ selon les angles $\beta, \gamma$ pris comme paramètres.

Pour la resolution :
C'est de la forme $\displaystyle d^2=(x-a)^2+(y-A)^2, e^2 =(x-b)^2+(y-B)^2$
Par différence : $\displaystyle d^2-e^2 = (b-a)(2 (x-a)-(b-a)) + (B-A)(2 (y-A)-(B-A)) $ et donc $\displaystyle 2(y-A) = {d^2 - e^2 \over B-A} + B-A - {b-a \over B-A} (2 (x-a)-(b-a)) .$ On reporte et on obtient une équation du second degré en $\displaystyle x-a$ et on reporte encore pour trouver $\displaystyle y-a.$

On obtient donc $\displaystyle x_F$ et $\displaystyle y_F$ selon les angles $\displaystyle \beta, \gamma.$

La relation $\displaystyle f^2 = (x_C-x_B+ c \cos \gamma-b \cos \beta)^2 +(y_C-y_B+ c \sin \gamma-b \sin \beta)^2$ est de la forme $A \cos \beta + B \sin \beta = C$ que l'on sait résoudre : on obtient donc $\beta$ selon $\gamma.$

On reporte dans les coordonnées de $F$ pour obtenir $\displaystyle x_F, y_F$ selon $\gamma.$

On passe alors à $G$ : on calcule la distance $\displaystyle g^2 = (x_G-x_F)^2 + (y_G-y_F)^2 $ avec $\displaystyle y_G=0.$

On a donc $\displaystyle G=(x_F + \sqrt{g^2-y_F^2}, 0).$

Comme $x_G$ dépend de $\gamma$ on peut paramétrer selon $x_G$ au lieu de $\gamma.$

Voila !

Je ne comprends pas très bien le principe de ton arc.
De façon sans doute stupide, je verrai un mécanisme articulé comme ça : dans ton schéma, le quadrilatère BCDE serait un parallélogramme croisé (BC=DE et BE=CD) ; là, c'est beaucoup plus simple à analyser. Et puis il y aurait un ressort entre C et E, qui se tendrait quand on tire sur la corde. On peut même, soyons fous, avoir plusieurs modules de ce type empilés l'un sur l'autre.

Bonjour,

Je n’utilise pas deux fois $b.$ Je note $b$ une longueur. Et, je dis qu’une équation est de la forme $x=b^2$ pour inventer un exemple. Il s’agit de la forme.

On sait $d^2=X^2+Y^2$. Quand tu trouves $X$ par un polynôme de degré deux, tu reportes dans cette équation pour trouver $Y$. Évident, non ?

Mon approche permet de trouver le résultat exact. A toi de faire les calculs si tu veux. Mais je ne sais pas si ils vont te servir parce que les expressions sont compliquées.

Bonjour,

Si tu cherches les forces les équations sont inextricables. Il faut passer en numérique. Tu peux alors résoudre numériquement pour les positions...

C'est la vie. Tu ne peux pas espérer avoir de belles formules analytiques qui vont te donner xD en fonction de xG ! Je ne saisis d'ailleurs pas très bien l'intérêt d'avoir ça pour ton problème d'arc.
Tu peux faire des hypothèses sur l'architecture de ton mécanisme permettant de bien simplifier les calculs. Je t'en ai proposé une qui me semble raisonnable : que BCDE soit un parallélogramme croisé (ou antiparallélogramme). Tu peux voir sur cette page wikipedia une animation qui montre l'intérêt d'une telle configuration. Mais ça n'a pas l'air de t'emballer. Pourquoi ? Y a-t-il une raison technique ?
Par ailleurs, je n'ai toujours pas compris comment concrètement est créée la tension qui rappelle la corde dans ton mécanisme. J'imaginais bêtement un ressort qui se tend entre Cet E. C'est idiot ?

Bonjour,

Tu n’as pas le choix : étude numérique.

C’est la dure loi en physique : pour les concepts, on fait des maths. Pour la technologie, on calcule numériquement.

Essaie de chercher sur le net. Je serais étonné qu’il n’existe pas de logiciel pour ce genre de calculs mécaniques.