Apparemment simple

% Jen-Louis Ayme - 23 mai 2020 - Apparemment simple

clc, clear all, close all;

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

% Le triangle de base est A(a^2) B(b^2) C(c^2)

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syms d e dB eB

dB=1/d; % D(d^2) est un point du cercle circonscrit

% (AB) a pour équation z + a^2*b^2 zB - (a^2+b^2) = 0

eB=-(e-a^2-b^2)/(a^2*b^2); 

% On veut que E soit sur le cercle de centre B passant par D

Nule=Factor((e-b^2)*(eB-bB^2)-(d^2-b^2)*(dB^2-bB^2));
Eqe=numden(-Nule)

% On trouve:
% (- b^2*d + a*b^2 - a*d^2 + e*d)*(- b^2*d - a*b^2 + a*d^2 + e*d) = 0 donc:

e1 = (b^2*d + a*b^2 - a*d^2)/d;
e2 = (b^2*d - a*b^2 + a*d^2)/d;

e1B = (bB^2*dB + aB*bB^2 - aB*dB^2)/dB;
e2B = (bB^2*dB - aB*bB^2 + aB*dB^2)/dB;

% De même, pour la droite (AC) et le cercle de centre C passant par D:

f1 = (c^2*d - a*c^2 + a*d^2)/d;
f2 = (c^2*d + a*c^2 - a*d^2)/d;

f1B = (cB^2*dB - aB*cB^2 + aB*dB^2)/dB;
f2B = (cB^2*dB + aB*cB^2 - aB*dB^2)/dB;

% Milieux M_1 et M_2 de [E_1 F_1] et [E_2 F_2]

m1=Factor((e1+f1)/2);
m2=Factor((e2+f2)/2);

m1B=Factor((e1B+f1B)/2);
m2B=Factor((e2B+f2B)/2);

% On trouve:

m1 = (a*b^2 - a*c^2 + b^2*d + c^2*d)/(2*d);
m2 = (a*c^2 - a*b^2 + b^2*d + c^2*d)/(2*d);
 
%-----------------------------------------------------------------------

ap=Factor((b^2+c^2)/2);  % Milieu de [BC]
Nulap=Factor(m1+m2-2*ap) % Égal à 0 donc A' est le milieu de [M_1 M_2]

Nulm1=Factor((m1-b^2)*(m1B-cB^2)+(m1-c^2)*(m1B-bB^2))
Nulm2=Factor((m2-b^2)*(m2B-cB^2)+(m2-c^2)*(m2B-bB^2))

% Donc B M_1 C M_2 est un recatangle de centre A'

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[pde1 qde1 rde1]=DroiteDeuxPoints(d^2,e1,dB^2,e1B); % Droite (D E_1)
[pcm1 qcm1 rcm1]=DroiteDeuxPoints(c^2,m1,cB^2,m1B); % Droite (C M_1)

% Point d'intersection M_1 de ces deux droites

[l1 l1B]=IntersectionDeuxDroites(pde1,qde1,rde1,pcm1,qcm1,rcm1);

l1=Factor(l1) % On trouve l1 = a*b^2/d

NulL1=Factor(l1*l1B-1) % Égala à 0

% Donc L1 est sur le cercle circonscrit au triangle ABC

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[pdf1 qdf1 rdf1]=DroiteDeuxPoints(d^2,f1,dB^2,f1B); % Droite (D F_1)
[pbm1 qbm1 rbm1]=DroiteDeuxPoints(b^2,m1,bB^2,m1B); % Droite (B M_1)

% Point d'intersection M_1 de ces deux droites

[k1 k1B]=IntersectionDeuxDroites(pdf1,qdf1,rdf1,pbm1,qbm1,rbm1);

k1=Factor(k1) % On trouve k1 = -a*c^2/d

NulK1=Factor(k1*k1B-1) % Égala à 0

% Donc K1 est sur le cercle circonscrit au triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

[pde2 qde2 rde2]=DroiteDeuxPoints(d^2,e2,dB^2,e2B); % Droite (D E_2)
[pcm2 qcm2 rcm2]=DroiteDeuxPoints(c^2,m2,cB^2,m2B); % Droite (C M_2)

% Point d'intersection M_2 de ces deux droites

[l2 l2B]=IntersectionDeuxDroites(pde2,qde2,rde2,pcm2,qcm2,rcm2);

l2=Factor(l2) % On trouve l2 = -a*b^2/d

NulL2=Factor(l2*l2B-1) % Égala à 0

% Donc L2 est sur le cercle circonscrit au triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

[pdf2 qdf2 rdf2]=DroiteDeuxPoints(d^2,f2,dB^2,f2B); % Droite (D F_2)
[pbm2 qbm2 rbm2]=DroiteDeuxPoints(b^2,m2,bB^2,m2B); % Droite (B M_2)

% Point d'intersection M_2 de ces deux droites

[k2 k2B]=IntersectionDeuxDroites(pdf2,qdf2,rdf2,pbm2,qbm2,rbm2);

k2=Factor(k2) % On trouve k2 = a*c^2/d

NulK2=Factor(k2*k2B-1) % Égala à 0

% Donc K2 est sur le cercle circonscrit au triangle ABC

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% On canstate que K_1 L_1 K_2 L_2 est un rectangle de centre O