Produit scalaire application problème rugby

Bonsoir,

Il n’est rien dit sur le point O mais il semble raisonnable de supposer qu’il s’agit d’un coin et donc qu’il y a un angle droit...
Et si ce n’est pas raisonnable, faisons-le quand même.

Ensuite, qu’est-ce que le produit scalaire dans ton cours ?
Est-ce que ça ne s’applique pas, là, avec cet angle droit en O ?

Cordialement

Dom

Bonsoir,

Tu utiliseras le théorème de Pythagore ainsi que le résultat suivant qui figure dans ton cours qui dit :
soit $A, B, C$ trois points du plan. On a $\vec{AB}.\vec{AC}=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)$.

Cordialement

Je parle de la question 1.

Peux-tu donner le détail de ta preuve.

Par la relation de Chasles $\vec{JP_1} = \vec{JO} + \vec{OP_1}$ et de même $\vec{JP_2} = \vec{JO} + \vec{OP_2}.$
Par suite, on a :
$\vec{JP_1} .\vec{JP_2}=........$

Bonjour à tous
Personnellement je suis un grand fan de Rugby et je suis bien malheureux en ce moment
Mais le principal problème en Rugby est de transformer l'essai marqué au point $O$ et pour cela le buteur doit ouvrir son angle $\widehat{P_1JP_2}$ c'est à dire le maximiser quand le point $J$ décrit la perpendiculaire en $O$ à la ligne de but $P_1P_2$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Chaurien
On voit bien jusqu'où nous sommes tombés.
Un exercice juste pour calculer un produit scalaire, (il suffit d'appliquer sa définition), alors qu'on pouvait se servir de ce calcul pour maximiser cet angle!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Le problème mathématique est le suivant.

Soient deux demi-droites perpendiculaires $d$ et $d'$ de même origine $O$ (j'ai la flemme de faire un dessin), soient deux points $A$ et $B$ donnés sur $d$, avec $O \neq A \neq B \neq O$. Quelle est la position d'un point $M$ sur $d'$ pour que l'angle $\theta=\widehat{AMB}$ soit maximum ?

Pour résoudre ce problème, dans Le Petit Archimède, j'avais étudié la fonction $\theta \mapsto \tan \theta$ car, mon cher pappus, la géométrie se portait en ce temps-là encore plus mal qu'aujourdhui dans l'enseignement secondaire, et une étude de fonction semblait plus appropriée, d'autant plus qu'on pouvait trouver ce maximum sans dériver.

Géométriquement on peut dire que l'angle $\widehat{AMB}$, inscrit dans le cercle passant par $M,A,B$ est la moitié de l'angle au centre et sera donc maximum si cet angle au centre est maximum, donc si le rayon du cercle est le plus petit possible. Il faut donc trouver le plus petit cercle passant par $A$ et $B $ et qui rencontre la demi-droite $d'$ : c'est le cercle tangent à cette demi-droite, et la puissance du point $O$ par rapport à ce cercle sera : $OM^2=OA$·$OB$, ce qui donne la position de $M$.

Bonne après-midi.
Fr. Ch.

PB 2, Le Petit Archimède n° 4, juin 1973, solution Le Petit Archimède n° 10, 2e trimestre 1974.

Voici une figure avec les notations de Chaurien et la construction du point $M$ : puisque $OM^2 = OA.OB$ il suffit de placer le point $A'$ symétrique de $A$ par rapport à O et de construire le cercle de diamètre $[A'B]$, cercle qui coupe $d'$ en M.

Merci Ludwig
Insistons sur le fait que le point $O$ est sur le bord du terrain, l'essai ayant été marqué en coin.
Peux-tu donner une preuve de ton affirmation qui est exacte?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Ce que j'aime bien dans ce problème d'extremum, c'est qu'on peut le présenter à beaucoup de niveaux: collège (?), lycée, taupe ou fac.
Quant à la construction du point de contact, rien d'original: elle figure évidemment dans le Lebossé-Hémery et j'en ai parlé tout récemment avec Jelobreuil dans ce fil: des lieux curieux.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bien sûr, mon cher Gerard0!
Il y a encore beaucoup d'autres facteurs comme la météo par exemple!
Mais tu l'as bien compris ce n'est qu'une modélisation dans laquelle on peut oublier le rugby et où on pourrait prendre pour terrain de jeux le plan tout entier!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ludwig
Je reprends ta figure avec ta construction du point de contact $P$.
Je la trouve très jolie mais est-elle du niveau lycée?
Quant à ce problème d'extremum, je le vois surtout comme un exercice sur les arcs capables via un peu de géométrie contemplative (c'est à dire sans demander trop de rigueur).
$$\widehat{APB}=\widehat{AM'B}+\widehat{PBM'}=\widehat{AMB}+\widehat{PBM'}\ge\widehat{AMB}\ $$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Quel est le lieu du point $P$ quand le point $O$ varie?

Bonjour à tous
On utilise un repère orthonormé dans lequel les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(a,0)$ et $B(-a,0)$.
La relation: $\overline{OP}^2=\overline{OA}.\overline{OB}\ $ définissant $P(x,y)$ se traduit par:
$$y^2=x^2-a^2$$.
Le point $P$ décrit donc un arc d'hyperbole équilatère dont j'ai tracé l'asymptote en pointillé rouge et c'est sur cette asymptote que notre buteur va se placer s'il veut maximiser grosso modo son angle de tir.
Amicalement
[small]p[/small]appus