Le point O sur une ménélienne
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle acutangle
2. H, O l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit
3Y, Z les points d'intersection de la médiatrice de [AH] resp. avec (AC), (AB)
4. Y' le point d'intersection de la perpendiculaire à (AC) issue de Y avec (AB)
5. Z' le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) issue de Z avec (AC).
Question : O est sur (Y'Z').
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle acutangle
2. H, O l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit
3Y, Z les points d'intersection de la médiatrice de [AH] resp. avec (AC), (AB)
4. Y' le point d'intersection de la perpendiculaire à (AC) issue de Y avec (AB)
5. Z' le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) issue de Z avec (AC).
Question : O est sur (Y'Z').
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Tu es le prince des points alignés et des droites concourantes en forme de casse-têtes le plus souvent insolubles sauf par des Bouzarinades ou des Rescassolades indigestes alors que tu attends à juste titre des solutions synthétiques.
C'est pourquoi d'habitude, je jette l'éponge mais là je ne sais pourquoi, j'avais le sentiment que je pouvais dire quelque chose d'intéressant!
Je vais proposer un lemme qui va résoudre ton exercice de façon un peu inattendue.
Soit deux droites $L$ et $L'$ non perpendiculaires passant par un point $A$.
On se donne un point $O$ non situé sur $L$ et $L'$.
Soit $M$ un point de $L$, la droite $OM$ coupe $L'$ en $M'$.
La perpendiculaire en $M$ à $L$ coupe $L'$ en $P'$.
La perpendiculaire en $M'$ à $L'$ coupe $L$ en $P$.
Montrer que la droite $PP'$ passe par un point fixe $O'$.quand $M$ décrit la droite $L$.
Montrer que l'application $O\mapsto O'$ est une transformation simple du plan dont on se doute un peu qu'elle est défunte depuis belle lurette!
Eh oui, même la simplicité n'est plus enseignée sauf peut-être pour les groupes, il faudra que je vérifie!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le triangle AY'Z' est indirectement semblable à ABC, et dans cette similitude, le point O est l'image du point D, pied de la A-hauteur de ABC. Donc, O appartient à Y'Z'.
Je suis bien conscient que cette "démonstration" est très schématique et demande à être étoffée ...
Bien cordialement
JLB
Je suis épaté!
Mon application $O\mapsto O'$ est effectivement une défunte similitude, (défunte comme toutes les similitudes), qui plus est indirecte, ce qui n'arrangeait pas les choses!
Je suis content de voir tes progrès en géométrie!
Mais où te sers-tu du fait que la droite $YZ$ est la médiatrice de $AH$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Essaye de faire mon exercice et applique le à celui de Jean-Louis!
merci pour vos contributions...
Je pense dans la correspondance évoquée l'image de M est bien le pied O' de la A-hauteur du triangle AY'Z'...
Le problème revient à montrer que O' et O sont confondus.
Sincèrement
Jean-Louis
Les triangles rectangles AM'P et AMP' sont évidemment semblables dans la similitude indirecte qui envoie M' en P et M en P', et ceci reste vrai quand M décrit L, autrement dit quand MM' tourne autour de O. Une similitude ayant le bon goût de conserver les angles, la droite PP' sera elle aussi entraînée dans un mouvement de rotation, autour d'un point fixe qui sera, bien entendu, l'image de O dans cette similitude indirecte.
C'est en effet bien simple !
Bien amicalement
JLB
PS : Pappus, je rédigeais ceci pendant que tu me répondais !
PPS : Pappus, que ZY soit la médiatrice de AH ne m'a servi qu'à voir que ZY est parallèle à BC, et je n'ai pas raisonné sur AZY, mais sur ABC, en introduisant le pied D (A' pour Jean-Louis) de la A-hauteur de ABC.
Ce qu'il faut bien comprendre déjà, c'est que ma similitude indirecte ne dépend que des droites $L$ et $L'$ et de rien d'autre!
Je te cite maintenant: Les prémisses sont bonnes, la suite l'est beaucoup moins, c'est du charabia pur et simple!
A te lire, on a l'impression qu'on fait de la cinématique mais ce n'est que de la géométrie.
Appelons $s$ ma similitude indirecte:
alors $s(M)=P'\ $ et $s(M')=P\ $
Conclusion: $s$ transforme la droite $MM'$ en la droite $PP'$ et puisque $O\in MM'$, $O'=s(O)\in s(M)s(M')=PP'$.
Maintenant comment appliquer ce lemme à la configuration de Jean-Louis?
Il faudra bien se servir d'une façon ou d'une autre du fait que $YZ$ est la médiatrice de $AH$
Voilà comment j'applique mon lemme.
Je transforme la hauteur $BV$ par ma similitude $s$.
On sait que: $s(V)=B$.
Comme $s$ conserve l'orthogonalité, $s(BV)$ est la droite passant par $B$ orthogonale à $AB$, droite qui passe par le point $D$ diamétralement opposé à $A$ sur le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
De même $s(CW)$ est la droite $CD$.
Ceci entraîne que $s(H)=D$.
Comme $s$ est affine, $s(E)=O$ où $E$ est le milieu de $AH$.
Mais comme $YZ$ est la médiatrice de $AH$, $E\in YZ$.
Par suite $O=s(E)\in s(Y)s(Z)=Y'Z'$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Utilisons les coordonnées barycentriques.
$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
$Y\simeq\left[\begin{array}{c} (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2)\\ 0\\ a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\end{array}\right]$
$Z\simeq\left[\begin{array}{c} -(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)\\ a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ 0\end{array}\right]$
$Y'\simeq\left[\begin{array}{c} -a^4 + 2 a^2 c^2 - (b^2 - c^2)^2\\ 2 a^2 b^2\\ 0\end{array}\right]$
$Z'\simeq\left[\begin{array}{c} a^4 - 2 a^2 b^2 + (b^2 - c^2)^2\\ 0\\ -2 a^2 c^2\end{array}\right]$
$O\simeq\left[\begin{array}{c} a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\ c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$
Une équation de la droite $(Y'Z')$ :
$2 a^2 b^2 c^2x+c^2 (a^4 - 2 a^2 c^2 + (b^2 - c^2)^2)y+b^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + (b^2 - c^2)^2)z=0. $
Les coordonnées de $O$ vérifient l'équation de la droite $(Y'Z')$. Donc $O$ appartient à la droite en question.
Amicalement
pourquoi avoir omis de calculer le rapport de la similitude indirecte évoquée?
Il ouvre la voie a une solution synthétique...
Sincèrement
Jean-Louis
Le rapport de similitude est $\dfrac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}.$
Cordialement
Pourquoi n'ai-je pas calculé ce rapport?
Tout simplement parce que je n'en avais pas besoin!
Je fais donc moins de calcul que toi!
Je sais que tu ne seras pas d'accord avec moi mais je pense que ma preuve est aussi synthétique que la tienne sinon plus!
Je reviens quand même sur ma similitude indirecte $s$ car je n'ai sans doute pas été assez clair sur sa définition.
Les données de départ sont les droites $L$ et $L'$ passant par $A$.
Je choisis un point $P$ quelconque appartenant à $L$.
La perpendiculaire en $P$ à la droite $L$ coupe la droite $L'$ en un point $Q$ car par hypothèse les droites $L$ et $L'$ ne sont pas perpendiculaires.
Une petite parenthèse à ce propos, dans tes hypothèses, nul besoin de supposer le triangle $ABC$ acutangle qui est une condition trop stricte. Il suffit de supposer $\widehat{BAC}\not =90°$.
Par définition $s$ est la similitude indirecte de centre $A$ envoyant $P$ sur $Q$.
Comme $s$ commute avec les homothéties de centre $A$, (qu'elles reposent en paix!), on voit que cette définition ne dépend pas du choix du point $P$.
D'autre part $s$ commute aussi avec toute symétrie $\sigma$ échangeant $L$ et $L'$, (il y en aurait deux aux dernières nouvelles mais est-ce encore enseigné? Je ne sais pas!), ce qui entraîne que si $N\in L'$, alors $s(N')$ est le point de $L$ tel que $Ns(N)\perp L'$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Où est la preuve de Jean-Louis ?
Amicalement
le rapport est cos <A... qui est égal à AH / 2.AO...ce qui permet de conclure...
Je mettrai tout cela en ligne prochainement avec d'autres exercices...
Je ne me permets aucune comparaison... ni compétition...
Sincèrement
Jean-Louis
Bien sûr, il n'y a pas compétition d'autant plus que je suis incapable la plupart du temps de trouver la moindre de tes énigmes!
Mais il n'y a pas de mal à comparer des solutions différentes, ne serait-ce que pour mieux comprendre les méthodes utilisées.
Par contre je serais curieux de savoir ta définition d'une méthode synthétique!
Amicalement
[small]p[/small]appus
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Orthique encyclopedie 6.pdf p. 13...
Sincerely
Jean-Louis