Surprise à la Cassini

Bonjour soland,
Je l'ai fait avec les nombres complexes.
Je suppose que le cercle d'inversion $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $0$ et de rayon $r$ et que $a$ est un nombre réel strictement positif, différent de $c$.
Ainsi, on a $b=-a$, et la condition $\left\vert z-a\right\vert\left\vert z-b\right\vert = c^2$ peut se récrire $\left\vert z^2-a^2\right\vert=c^2$.
Je note $\mathcal{O}:=\{z\in\C\ \colon\ \left\vert z^2-a^2\right\vert=c^2\}$ l'ovale de Cassini et $\mathcal{O'}$ l'ensemble obtenu par inversion de $\mathcal{O}$ par rapport à $\mathscr{C}$.
Un point $z$ du plan se trouve sur $\mathcal{O}$ ssi $z^2$ se trouve sur le cercle $C_1$ de centre $a^2$ et de rayon $c^2$, qui ne passe pas par l'origine.
L'inversion de ce cercle par rapport à $\mathscr{C}$ s'obtient donc par une homothétie de centre l'origine et de rapport $r^2/p$ où $p=a^4-c^4$ est la puissance de $0$ par rapport à $C_1$. C'est donc le cercle $C_2$ de centre $(ra)^2/p$ et de rayon $(rc)^2/\left\vert p\right\vert$.
Soit $z$ un point de $\mathcal{O}$, et $z'=r^2/\overline z$ l'inverse de $z$ par rapport à $\mathscr{C}$, $z'^2$ est donc l'inverse de $z^2$ par rapport à $\mathscr{C}$ et se trouve sur $C_2$ (pour être plus précis $z'$ se trouve sur $\mathcal{O'}$ ssi $z'^2$ est sur $C_2$), on a donc $\left\vert z'^2-(ra)^2/p\right\vert=(rc)^2/\left\vert p\right\vert$, ce qu'on peut récrire $\left\vert pz'^2/r^2-a^2\right\vert=c^2$ ou encore $\left\vert -pz'^2/r^2-(ia)^2\right\vert=c^2$.
Ainsi, si $p<0$, c'est-à-dire si la distance de $a$ au centre du cercle est plus petite que $c$, alors $\mathcal{O'}$ est l'image de $\mathcal{O}$ par une similitude dont le centre est celui du cercle d'inversion, d'un quart de tour et de rapport $r^2/\sqrt{-p}$.
Lorsque $p>0$, c'est-à-dire que lorsque la distance de $a$ au centre du cercle est plus grande que $c$, alors $\mathcal{O'}$ est l'image de $\mathcal{O}$ par une homothétie de centre celui du cercle d'inversion et de rapport $r^2/\sqrt{p}$ (il n'y a pas de rotation).

EDIT : pour avoir un simple demi-tour de l'ovale $\mathcal{O}=\{M\ \colon\ MA\times MB=c^2\}$ dans l'inversion par rapport à un cercle de rayon $r$ et de centre le milieu de $\left[AB\right]$, il faut donc que $a=AB/2$ soit plus petit que $c$, et que $r=(c^4-a^4)^{1/4}$.