Droite affine
Bonsoir
Soit $E$ de dimension $n$ muni d'une repère $\mathcal R=(\Omega,e)$
Proposition 1.
La relation :
$\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i x_i =h$ avec $(u_1, \cdots u_n) \ne (0, \cdots ,0)$ (*)
est l'équation cartésienne d'un hyperplan affine dont la direction admet pour équation cartésienne dans $e$ : $\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i x_i =0$
Proposition 2.
Une partie $\mathcal D$ de $E$ est une droite affine s'il existe un point $A$ et un vecteur $\vec{u}$ non nuls tels que $\mathcal D=A+ \R \vec{u} = \{ A+ \lambda \vec{u} , \lambda \in \R \}$
Corollaire.
Soit $E$ de dimension 2 muni d'un repère.
Toute équation cartésienne dans $\mathcal R$ de la forme : $ax+by+c=0$ avec $(a,b) \ne (0,0)$ représente une droite affine dirigée par le vecteur de coordonnées $(-b,a)$
Quelle est la direction d'un hyperplan ? (ceci n'est pas expliqué dans mon livre)
Comment on applique les propositions pour trouver le vecteur $(-b,a)$ ?
Exercice.
Soit $E$ de dimension 2, $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés. On note $I$ le milieu du segment $[BC]$. Une droite variable distincte de $(BC)$ passant par $I$ coupe les droites $(AB)$ et $(AC)$ respectivement en $D$ et $E$.
Quel est le lieu des points d'intersection des droites $(BE)$ et $(CD)$ ?
On pourra se placer dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$
Mon livre donne une solution mais je n'y comprends rien en plus j'ai l'impression que la première ligne est fausse. J'ai fait un dessin.
Je ne vois pas par où commencer mon raisonnement mis à part que j'ai calculé les coordonnées de $I$ dans ce repère et je trouve :
$\vec{AI}=\vec{AB} + \vec{BI} = \vec{AB} + \dfrac{1}{2} \vec{BC}$ donc $I(1,\dfrac{1}{2})$
Mon livre donne comme cordonnées $I(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ je trouve que c'est n'importe quoi.
Soit $E$ de dimension $n$ muni d'une repère $\mathcal R=(\Omega,e)$
Proposition 1.
La relation :
$\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i x_i =h$ avec $(u_1, \cdots u_n) \ne (0, \cdots ,0)$ (*)
est l'équation cartésienne d'un hyperplan affine dont la direction admet pour équation cartésienne dans $e$ : $\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i x_i =0$
Proposition 2.
Une partie $\mathcal D$ de $E$ est une droite affine s'il existe un point $A$ et un vecteur $\vec{u}$ non nuls tels que $\mathcal D=A+ \R \vec{u} = \{ A+ \lambda \vec{u} , \lambda \in \R \}$
Corollaire.
Soit $E$ de dimension 2 muni d'un repère.
Toute équation cartésienne dans $\mathcal R$ de la forme : $ax+by+c=0$ avec $(a,b) \ne (0,0)$ représente une droite affine dirigée par le vecteur de coordonnées $(-b,a)$
Quelle est la direction d'un hyperplan ? (ceci n'est pas expliqué dans mon livre)
Comment on applique les propositions pour trouver le vecteur $(-b,a)$ ?
Exercice.
Soit $E$ de dimension 2, $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés. On note $I$ le milieu du segment $[BC]$. Une droite variable distincte de $(BC)$ passant par $I$ coupe les droites $(AB)$ et $(AC)$ respectivement en $D$ et $E$.
Quel est le lieu des points d'intersection des droites $(BE)$ et $(CD)$ ?
On pourra se placer dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$
Mon livre donne une solution mais je n'y comprends rien en plus j'ai l'impression que la première ligne est fausse. J'ai fait un dessin.
Je ne vois pas par où commencer mon raisonnement mis à part que j'ai calculé les coordonnées de $I$ dans ce repère et je trouve :
$\vec{AI}=\vec{AB} + \vec{BI} = \vec{AB} + \dfrac{1}{2} \vec{BC}$ donc $I(1,\dfrac{1}{2})$
Mon livre donne comme cordonnées $I(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ je trouve que c'est n'importe quoi.
Réponses
-
La direction d'un sous-espace affine $F$ de $E$ c'est l'unique sous-espace vectoriel $\mathcal F$ de $\mathcal E$ tel que $\mathcal F = A + F$ pour un certain point $A$ de $E$.
Tu devrais considérer des cas simples, en cherchant la direction d'une droite affine du plan, d'un plan affine dans l'espace pour assimiler la notion. Grossièrement, la direction d'un sous-espace affine c'est le translaté de ce sous-espace qui passe par $0$. -
OShine a écrit:On pourra se placer dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$
[...]
$\vec{AI}=\vec{AB} + \vec{BI} = \vec{AB} + \dfrac{1}{2} \vec{BC}$ donc $I(1,\dfrac{1}{2})$
Tu as exprimé $\vec{AI}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$, non en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.OShine a écrit:Mon livre donne comme cordonnées $I(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ je trouve que c'est n'importe quoi.
Ton livre a raison. Un dessin t'en convaincra. Mais pour le prouver, tu dois exprimer $\vec{AI}$ suivant $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. -
Bonjour,
Conclusion: Mieux vaut lire que croire avoir lu.
Et même plusieurs fois.
Ceci dit, le milieu d'un segment, ça remonte à des lieues avant le CAPES.
Cordialement,
Rescassol -
Merci oui je me suis trompé.
$\vec{AI}=\vec{AB} + \dfrac{1}{2} \vec{BC}=\vec{AB} + \dfrac{1}{2} \vec{BA}+ \dfrac{1}{2} \vec{AC}=\dfrac{1}{2} \vec{AB}+\dfrac{1}{2} \vec{AC}$
Donc $\boxed{I(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})}$
Par contre, comment trouver le $(-b,a)$ du corollaire à partir de la proposition 1 ?
Pourriez-vous me donner votre avis sur le corrigé ? Je ne comprends rien à la rédaction je suis perdu à la ligne 3 avec le $y-\dfrac{1}{2}=k(x-\dfrac{1}{2})$
Je préfère faire les exercices sans regarder le corrigé mais l'exercice n'est pas guidé. -
Ben essaye toi-même de regarder à quoi ressemble l'équation d'une droite qui passe par $(\frac12,\frac12)$ au lieu d'être passif, de lire et de dire "je comprends pas d'où vient cette équation"...
Exo bonus : quelle est l'équation d'une droite qui passe par $(2,3)$ ?
Tout ça, c'est du cours de 2nd... Si tu sembles faire des progrès de raisonnement avec Cc, ça ne se voit pas encore, sûrement parce que tu ne bosses pas tes cours de lycée.
Pareil, la suite c'est affligeant : on te dit que $D$ et $E$ sont sur les axes et tu as l'équation de la droite $(DE)$.. Qu'est-ce qu'il te faut de plus ??? -
L'équation d'une droite est de la forme :
$ax+by+c=0$
Elle passe par $I$ donc $a \dfrac{1}{2} + b \dfrac{1}{2} + c =0 \implies a+b+2c=0$
Ce qui donne $ax+by- \dfrac{1}{2} (a+b)=0$
Je ne vois toujours pas comment trouver la première équation du corrigé avec les $k$. -
"n'est pas parallèle à $(AB)$ et $(AC)$" je lis. Donc pas parallèle aux axes... donc que dire de $a$ et $b$ ?
Tu as choisi une équation de droite très générale, pas celle qu'on apprend au collège, dommage. -
Merci beaucoup vous m'avez débloqué pour la première équation !
$a$ et $b$ sont non nuls.
Car je viens d'étudier le cours qui dit :
Soit $E$ de dimension 2 muni d'un repère $R$.
Toute droite affine $D$ du plan a une équation cartésienne dans $R$ du type $ax+by+c=0$ avec $(a,b) \ne (0,0)$
Ok merci donc je peux écrire $y=kx+b$ avec $k \ne 0$
Or $\dfrac{1}{2} = k \dfrac{1}{2} + b$ donc $b=\dfrac{1}{2} - k \dfrac{1}{2}$
Et on a comme équation pour la droite $(DE)$ passant par $I$ : $\boxed{y-\dfrac{1}{2} = k(x-\dfrac{1}{2})}$
Pour la suite, $D \in (AB)$ donc $y_D=0$ et $x_D=\dfrac{k-1}{2k}$ donc $\boxed{D(\dfrac{k-1}{2k},0)}$
Comme $E \in (AC)$ alors $x_E=0$ et $y_E=\dfrac{1-k}{2}$ et $\boxed{E(0,\dfrac{1-k}{2})}$
Je vais essayer de comprendre la suite, mais vous m'avez déjà sorti une grosse épine du pied (tu) -
Soit une droite est verticale donc de la forme $x=c$ soit non verticale donc de la forme $y=ax+b$ (et ça se démontre). De manière générale, on peut résumer cela avec l'équation cartésienne $ax+by+c=0$. On a $a=0$ ssi elle est horizontale, et $b=0$ ssi elle est verticale. Donc, si elle n'est pas parallèles aux axes, elle n'est pas verticale, donc $b \neq 0$ et en divisant par $b$ et en posant $k=\frac{a}{b}, d=\frac{c}{b}$, $kx+y+d=0$.
Elle passe par $I$ donc $\frac{k}{2}+\frac12+d=0$ d'où $y+kx-\frac{k}{2}-\frac12=0$. Tu n'as pas fait le raisonnement de l'équation générale à l'équation particulière réduite.
En première en dérivation, tout début du chapitre, on cherche l'équation de la tangente qui a pour pente $f'(a)$ et qui passe $A(a,f(a))$. Donc la technique c'est $(x-a)\times \text{un truc} = y-f(a)$ pour que ça s'annule en $x=a$ et que ça donne $y=f(a)$. Et ensuite on voit que le truc, c'est la pente nécessairement. Mais ça, c'est des choses qu'un lycéen découvre, mais pas un candidat à un mois du CAPES. Je répète : tu bloques sur des notions de lycée ! -
J'essaie d'ingurgiter le cours de géométrie affine qui n'est pas évident car théorique.
En revenant aux définitions du lycée c'est plus simple en effet.
On arrive aux équations de droites :
(BE) $ (1-k)x+2y+k-1=0$
(CD) $-2x+ (\dfrac{1}{k}-1)y + 1 - \dfrac{1}{k}=0$ (j'ai refait les calculs ça marche)
Je ne comprends pas la suite : les droites $(BE)$ et $(CD)$ sont distinctes donc ces 2 droites ne sont pas parallèles donc $k \ne -1$.
Comment on sait que ces droites ne sont pas parallèles ?
La suite :
On trouve que l'intersection des droites (DE) et (BC) a pour coordonnées $\dfrac{k-1}{k+1} (1,-1)$
Le lieu recherché est donc une partie de la droite $x+y=0$ (jusque là tout va bien)
Plus précisément l'application $k \mapsto \dfrac{k-1}{k+1}$ étant une bijection de $\R^{*}$ sur $\R- \{-1,1\}$ il s'agit de l'ensemble des points de cette droite d’abscisse différente de $1$ et $-1$.
Je n'ai pas compris le rapport entre la bijection et les points à enlever. -
Dans l'énoncé, on cherche les points d'intersection de $(BE)$ et $(CD)$ donc par hypothèse, ces deux droites sont sécantes.
Ben quand $k$ parcout l'ensemble ....., $\frac{k-1}{k+1}$ parcourt ........ donc $\frac{k-1}{k+1}(1,-1)$ est l'ensemble des points de la droite ....... sauf les points .......... -
.... vérifier que c'est une bijection par étude de fonction ? Niveau première...
$\frac{k-1}{k+1}=1-\frac{2}{k+1}$ est croissante sur chaque intervalle, n'atteint pas $1$ (équation $=1$ sans solution) et $k=-1$ valeur interdite. C'est faisable en 2nd à l'époque où on raisonnait par composition de fonctions pour étudier la monotonie des fractions rationnelles.
Y a plein d'exos de lycée sur des lieux de points à trouver (courbe de Bézier est la plus célèbre certainement). Là, ton cours de géométrie affine ne te sert à rien, et montre surtout que tu n'es pas à l'aise du tout avec les équations de droite.
Dans ton brouillon, des $k$, des $x$, pas moyen que tu sois concentré ? Pourquoi y a 0 dans le tableau ? Pourquoi l'asymptote est là pour la dérivée et pas pour la fonction ? Tu vas me dire : "c'est juste un brouillon, je sais faire" mais comme tu ne fais jamais bien du premier coup, dur de te croire. -
En effet, c'est mieux d'écrit sous la forme $1- \cdots$ ça évite l'étude de fonction.
-
Tu continues avec tes mauvaises habitudes, Oshine : tu viens demander de l'aide parce que tu n'as pas compris le corrigé du livre au lieu de venir dire ce que, TOI, tu as fait pour essayer de résoudre l'exercice.
Tu en tirerais vraiment quelque chose car à chaque fois que tu aurais été bloqué, tu aurais une aide pour avancer dans TON raisonnement.
Petit à petit, tu aurais acquis TES méthodes de raisonnement.
Mais tu persistes à essayer de comprendre le raisonnement de l'auteur de ton livre... Cela ne te fera pas du tout progresser. Même si tu sauras mimer certains raisonnements, tu ne sauras jamais raisonner par toi-même en utilisant cette méthode.
Franchement, cela m'intéresserait au plus haut point de te voir rédiger un exercice de même difficulté que ceux de ton livre (voire même plus simple, s'il le faut), seul, de bout en bout. D'après ce que je vois, pour l'instant, tu sembles en être incapable.
Seul le fou espère obtenir des résultats différents en répétant constamment la même chose ! -
Sans indication, c'est un exercice un peu difficile pour mon niveau actuel, je voulais le faire seul mais je ne savais pas par où commencer.
Mais je vais essayer de suivre vos conseils pour les exercices suivants que je vais faire, je ne regarderai pas la solution avant de faire mon propre raisonnement. -
Puisqu'on fait de la géométrie, une petite figure ne fait pas de mal... et elle t'aurait permis de savoir quoi chercher, Oshine.
Tu peux animer la figure en cliquant sur le bouton "Lecture" du point D, pour voir ce qui se passe.
Évidemment, tu peux aussi bouger les points A, B, C et D à la main. -
Le faisceau des 4 droites $AB,AC,AI,$ et la parallèle à$ BC$ passant par A est un faisceau harmonique de droites .
C'était au programme de prépa, il y a longtemps … mais bien sûr ici ce n'était pas ce qui était attendu ... -
Merci.
Bisam, pourriez-vous me donner votre avis de prof de prépa concernant la rédaction de ce cours. Je compte abandonner ce livre je perds un temps fou.
Trop de propositions et les démonstrations ne sont pas claires pour moi.
J'ai l'impression que ce livre ne me fait pas avancer. Je trouve que plusieurs chapitres sont très mal rédigés ainsi que les démonstrations.
Exemple je ne comprends même pas la logique de la démonstration de la proposition 12. C'est une contraposée, c'est quoi ?
Une contraposée débuterait par : soit $\mathcal F \cap \mathcal G \ne \emptyset$ avec $\mathcal F$ qui n'est pas inclus dans $\mathcal G$.
Les corollaires 16 et 17 je ne comprends pas d'où sortent les arguments, le cours donne 1000 propriétés mais ils expliquent pas pourquoi si 2 droites sont non parallèles alors leurs directions sont des droites vectorielles en somme directe.
Il n'est pas expliqué pourquoi si 2 plans sont non parallèles alors la dimension de l'intersection est inférieur ou égale à 1. -
La démonstration de la proposition 12 est la suivante :
On veut montrer "si $A$ alors $B$ ou $C$".
On suppose qu'on a $A$.
Si on n'a pas $B$, montrons qu'on a nécessairement $C$.
C'est un raisonnement par implication. -
Merci mais pourquoi $\Omega+F \subset \Omega+G$ ?
Ce n'est pas expliqué. -
Que signifie "deux sous-espaces affines (d'un même espace affine) sont parallèles" ?
-
Ah merci $\mathcal F$ paralèlle à $\mathcal G$ si $F \subset G$.
Je me suis embrouillé avec toutes ces théorèmes qui se succèdent.
Pour le corollaire 16, comment on sait que si 2 droites sont non parallèles alors leur direction sont 2 droites vectorielles en somme directe ?
J'ai vu que 2 droites sont parallèles si et seulement si elles admettent un vecteur directeur commun. -
OShine a écrit:Pour le corollaire 16, comment on sait que si 2 droites sont non parallèles alors leur direction sont 2 droites vectorielles en somme directe ?
J'ai vu que 2 droites sont parallèles si et seulement si elles admettent un vecteur directeur commun.
C'est de l'algèbre linéaire, OShine. Il te suffit d'écrire les choses pour avoir la réponse immédiatement.- Si $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ sont deux droites (affines) non parallèles, comment ça se traduit pour leurs directions respectives $D$ et $D'$ ? Si tu préfères : comment traduire vectoriellement "deux droites n'admettent pas de vecteur directeur commun" ?
- Que signifie que deux sous-espace vectoriel $D$ et $D'$ (d'un même espace vectoriel $E$) sont en somme directe ?
-
Deux sous-espaces en somme directe $F$ et $G$ par exemple vérifient $E=F \oplus G$ et $\dim E = \dim F + \dim G$
Si 2 droites sont parallèles si elles admettent un vecteur directeur commun.
Soit $u$ un vecteur directeur de $D$ et $v$ un vecteur directeur de $D'$ alors :
$\dim \K u \dim \K v= 1+1=2= \dim E$
Pour tout $x \in E$ on a $x=y+z$ avec $x \in \K u$ et $y \in K v$
Donc $E= \K u \oplus \K v$
Pour la suite je bloque sur le point entouré en rouge, j'ai du mal à voir le lien avec ce qui précède. -
@ OShine : quelques mots sur la relation de parallélisme sont nécessaires pour bien voir la différence entre le plan (espace vectoriel de dimension 2) et l'espace (espace vectoriel de dimension 3) ou encore des espaces vectoriels de dimension n avec n > 2.
Dans le plan, on introduit une relation entre les seuls sous-espaces vectoriels non triviaux c'est à dire les droites (sous espaces vectoriels de dimension 1 et qui sont aussi les hyperplans). Cette relation qu'on appelle parallélisme est une relation d'equivalence entre les droites.
La situation change radicalment quand on passe en dimension supérieure. Ici les sous-espaces vectoriels non triviaux ne se réduisent pas uniquement à des droites ou à des hyperplans. Par exemple dans un espace vectoriel de dimension 5 tu as des sous-espaces vectoriels de dimension 1 (des droites), des sous-espaces vectoriels de dimension 2, 3 et 4 (ces derniers étant des hyperplans). Alors se pose le problème de comment choisir une relation de parallélisme. Deux choix s'offrent à nous :
premier choix : on définit une relation de parallélisme uniquement entre sous-espaces vectoriels de même dimension. Cette relation de parallélisme est une relation d'équivalence mais par exemple on ne peut plus parler de parallélisme entre une droite et un hyperplan parce qu'ils ont des dimensions différentes.
deuxième choix : on définit une relation de parallélisme entre tous les sous-espaces vectoriels non triviaux. Cette relation N'EST PAS UNE RELATION D'EQUIVALENCE PARCE QUE LA TRANSITIVITE EST MISE EN DEFAUT. C'est ce choix qui est retenu pour faire de la géométrie dans l'espace R3 ou Rn avec n>=3.
D'ailleurs dans l'espace R3 si une droite D1 est parallèle à un plan P1 et le plan P1 est parallèle à une droite D2 cela n'implique pas que la droite D1 est parallèle à la droite D2. Faire un dessin pour s'en convaincre.
Toutes les formules que tu est en train de lire sur le parallélisme ne font que traduire en termes mathématiques précis ce que je viens de t'expliquer de manière informelle. -
$P_1$ et $P_2$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $2$. Quelles sont les dimensions possibles pour leur intersection ?
-
@Michael
L'intersection de 2 sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
Les dimensions possibles sont $2,1,0$.
Comment montrer que $2$ est impossible ?
Serge merci le contre exemple se voit en utilisant les définitions suivantes :
Soit $\mathcal F$ et $\mathcal G$ 2 sous-espaces affines dirigés par $F$ et $G$.
On dit que $\mathcal F$ est parallèle à $\mathcal G$ si $F \subset G$.
On dit que $\mathcal F$ et $\mathcal G$ sont parallèles si $F=G$.
En particulier, une droite peut être parallèle à un plan, deux plans peuvent être parallèles, un plan n'est jamais parallèle à une droite. -
Par l'absurde, supposons que $\text{dim} \left( P_1 \cap P_2 \right) = 2$.
Qu'est-ce que ça implique sachant que $P_1$ et $P_2$ sont tous deux de dimension $2$ ? -
Je ne vois pas trop l'idée.
-
Alors fais un dessin et/ou revois le chapitre sur la dimension finie en algèbre linéaire.
-
$\dim (P_1 \cap P_2) = \dim P_1 + \dim P_2 - \dim (P_1+P_2)$
Si $\dim (P_1 \cap P_2)=2$ alors : $\dim (P_1+P_2)=2$
Donc $P_1+P_2=E$ je ne vois pas comment trouver la contradiction. -
Tu vas chercher des trucs bien compliqués pour quelque chose d'évident.
Indication :
$P_1 \cap P_2 \subset P_i$ ($i=1, \,2$). -
Oui je suis d'accord mais que faire de cette information ?
-
Conclure.
$\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles, ça se traduit comment sur $P_1$ et $P_2$ ?
Reprends tes réponses à mes questions et conclus. -
Cela signifie que $P_1 \ne P_2$
Donc $P_1 \cap P_2 \subset P_i$ est absurde.
En effet, supposons que $P_1 \cap P_2 \subset P_1$
Alors si $x \in P_1$ et $x \in P_2$ alors $x \in P_1 \ne P_2$. Ce qui est absurde. -
Je t'avais dit "Reprends tes réponses à mes questions et conclus".
Tu ne l'as visiblement pas fait.
Reprenons ce qu'on a (tout n'est probablement pas utile) :- $P_1$ et $P_2$ sont des sev d'un ev $E$.
- $\text{dim}\left(P_1 \right) = \text{dim}\left(P_2 \right) =2$.
- $\text{dim}\left(P_1 \cap P_2 \right) \in \{0, 1, 2\}$.
- $P_1 \neq P_2$
- $P_1 \cap P_2 \subset P_1$ et $P_1 \cap P_2 \subset P_2$
Pourquoi $\text{dim}\left(P_1 \cap P_2 \right) \neq 2$. - $P_1$ et $P_2$ sont des sev d'un ev $E$.
-
Merci je viens de comprendre.
$P_1 \ne P_2$ donc $\dim P_1 < \dim P_1$ ou $\dim P_2 < \dim P_1$
Supposons $\dim P_1 < \dim P_2$. Alors $\dim (P_1 \cap P_2) \leq \dim P_1 < \dim P_2 =2$
Donc $\dim (P_1 \cap P_2) \ne 2$
Même raisonnement pour le 2ème cas. -
On sait que $\text{dim } P_1 = \text{dim } P_2 = 2$. C'est le point 2 de mon message ci-dessus.
Ce que tu écris est donc faux.
Je ne sais pas ce que tu crois avoir compris ou ce que tu voulais faire. -
Rien que ça (j'ai corrigé un $P_1$ en $P_2$) :OShine a écrit:$P_1 \ne P_2$ donc $\dim P_2 < \dim P_1$ ou $\dim P_2 < \dim P_1$
Quel résultat d'algèbre linéaire peut bien te faire croire/écrire ça ?
C'est clairement faux, les contre-exemples ne manquent pas : dans un espace vectoriel de dimension au moins égale à $2$, deux droites vectorielles distinctes ont bien la même dimension.
Idem pour des plans distincts (dans un espace de dimension supérieure ou égale à $3$). -
Oui j'ai écrit une bêtise :-(
Comme $P_1 \ne P_2$ alors $P_1 \cap P_2 \ne P_1$
Ainsi l'inclusion $P_1 \cap P_2 \subset P_1$ est stricte et $\dim (P_1 \cap P_2) < \dim(P_1)$ avec $\dim P_1=2$
Enfin $\boxed{\dim (P_1 \cap P_2) \leq 1}$ -
OK.
Ce résultat est à connaître absolument : si $F$ et $G$ sont deux sev d'un ev $E$ de dimension finie tels que $F \subset G$ et $\dim(F)=\dim(G)$ alors $F=G$. -
Merci.
Oui je vois que c'est très utile dans les épreuves de maths, c'est souvent utilisé pour montrer que 2 sous-espaces vectoriels sont égaux.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 1
1 Invité