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Une concourance de droites

quentinh21quentinh21
dans Géométrie
Bonjour à tous,
En cherchant un autre problème j'ai trouvé celui-ci, je le trouve joli donc je vous le partage :

Soit $ABC$ un triangle de cercle circonscrit $\Gamma$, soit $H_AH_BH_C$ le triangle orthique. $P=(AH_A) \cap (H_BH_C)$. Les droites $(BP),(CP)$ recoupent une seconde fois $\Gamma$ en $X,Y$ respectivement.
Question : Montrer que $(XH_B),(YH_C)$ et la $A$-symmédiane de $ABC$ sont concourantes en un point de $\Gamma$.

Bien cordialement,
Quentin H.

Réponses

  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Avec Morley circonscrit: 
    % Quentinh21 - 04/06/2020 - Une concourance de droites

clc, clear all, close all

syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

ha=(s1*a-b*c)/(2*a);    % Triangle orthique H_a H_b H_c
hb=(s1*b-c*a)/(2*b);
hc=(s1*c-a*b)/(2*c);

haB=(s1B*aB-bB*cB)/(2*aB);
hbB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB);
hcB=(s1B*cB-aB*bB)/(2*cB);

[phbhc qhbhc rhbhc]=DroiteDeuxPoints(hb,hc,hbB,hcB); % Droite (H_b H_c)

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(phbhc,qhbhc,rhbhc,a,-s3,b*c-a^2);

p=Factor(p)

% On trouve:

p=(2*a^3 + (a^2+b*c)*(b+c) - a*(b^2+c^2))/(2*(a^2 + b*c));

[pbp qbp rbp]=DroiteDeuxPoints(b,p,bB,pB); % Droite (HP)

syms x   % Point où (BP) recoupe le cercle circonscrit

xB=1/x;

Nulx=Factor(pbp*x+qbp*xB+rbp)

% On trouve a*c^2 - 2*a^2*c - a*b*c - a*b*x + a*c*x + 2*b*c*x = 0 donc:

x=a*c*(2*a+b-c)/(a*c-a*b+2*b*c);
xB=aB*cB*(2*aB+bB-cB)/(aB*cB-aB*bB+2*bB*cB);

% De même, le point Y où (CP) recoupe le cercle circonscrit:

y=a*b*(2*a+c-b)/(a*b-a*c+2*b*c);
yB=aB*bB*(2*aB+cB-bB)/(aB*bB-aB*cB+2*bB*cB);

%-----------------------------------------------------------------------

[pxhb qxhb rxhb]=DroiteDeuxPoints(x,hb,xB,hbB); % Droite (X H_b)
[pyhc qyhc ryhc]=DroiteDeuxPoints(y,hc,yB,hcB); % Droite (Y H_c)

% Point d'intersection M des droites (X H_b) et (Y H_c)

[m mB]=IntersectionDeuxDroites(pxhb,qxhb,rxhb,pyhc,qyhc,ryhc);

m=Factor(m)

% On trouve:

m=(2*b*c-a*(b+c))/(b+c-2*a);
mB=(2*bB*cB-aB*(bB+cB))/(bB+cB-2*aB);

Nulm=Factor(m*mB-1)  % Égal à 0 donc M est sur le cercle circonscrit

x6=(2*s2^2-6*s1*s3)/(s1*s2-9*s3);     % Point de Lemoine X_6
x6B=(2*s2B^2-6*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B);

Mat=[a aB 1; m mB 1; x6 x6B 1];

Nulx6=Factor(det(Mat)) % Égal à 0 donc M est sur la symédiane (A X_6)

    Cordialement,

    Rescassol

    PS: Tu aurais pu faire une figure.103570
  • BouzarBouzar
    Bonjour

    Utilisons les coordonnées barycentriques.

    Le triangle de référence:

    $A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

    Le triangle orthique:

    $H_A,H_B,H_C\simeq\left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right].$

    $P\simeq\left[\begin{array}{c} 2 (-a^4 + (b^2 - c^2)^2)\\ a^4 - b^4 - 2 a^2 c^2 + c^4\\ a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - c^4\end{array}\right].$

    $X\simeq\left[\begin{array}{c} -2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4 - a^2 (b^2 + 3 c^2))\\ -2 b^2 (-a^4 + b^4 + 2 a^2 c^2 - c^4)\\ (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4 - a^2 (b^2 + 3 c^2))\end{array}\right].$

    $Y\simeq\left[\begin{array}{c} -2 a^6 + 8 a^4 b^2 + 4 (b^3 - b c^2)^2 + 2 a^2 (-5 b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4)\\ a^6 - 2 b^6 + 2 b^2 c^4 - 2 a^4 (2 b^2 + c^2) + a^2 (5 b^4 + 2 b^2 c^2 + c^4)\\ 2 c^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - c^4)\end{array}\right].$

    La droite $(XH_B)$ :

    $ 2 b^2 (-a^2 + b^2 + c^2)x+( -a^4 + 2 c^2 (b^2 - c^2) + a^2 (b^2 + 3 c^2))y -2 b^2 (a^2 + b^2 - c^2)z=0.$

    La droite $(YH_C)$ :

    $-2 c^2 (-a^2 + b^2 + c^2)x+ 2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2)y+( a^4 + 2 b^2 (b^2 - c^2) - a^2 (3 b^2 + c^2))z=0.$

    La A-symédiane de $ABC$ :

    $-c^2y+ b^2z=0.$

    La matrice $\left[\begin{array}{c} 2 b^2 (-a^2 + b^2 + c^2) & ( -a^4 + 2 c^2 (b^2 - c^2) + a^2 (b^2 + 3 c^2))& -2 b^2 (a^2 + b^2 - c^2) \\-2 c^2 (-a^2 + b^2 + c^2)& 2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2)& ( a^4 + 2 b^2 (b^2 - c^2) - a^2 (3 b^2 + c^2))\\0 & -c^2 & b^2\end{array}\right] $ a un déterminant égal à $0$.

    En conclusion, $(XH_B),(YH_C)$ et la $A$-symédiane de $ABC$ sont concourantes.
    Les coordonnées barycentriques du point de concours sont $M\simeq\left[\begin{array}{c} -a^2\\ b^2\\ 2 c^2\end{array}\right].$

    Par ailleurs, on a :

    $c^2 \times -a^2 \times 2 b^2 + b^2 \times -a^2 \times 2 c^2 + a^2 \times2 b^2 \times 2 c^2 =0.$

    Ainsi $M$ est un point de $\Gamma$.

    Cordialement
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonsoir,
    une preuve synthétique est-elle possible?...je pense que oui...
    Any ideas?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • pappuspappus
    Bonjour à tous
    @Jean-Louis
    Il est vrai que cet exercice est tout à fait dans le style des énigmes que tu nous poses.
    J'ai déjà quelques idées sur sa solution en utilisant des transformations circulaires ou projectives mais je sais que tu n'aimes pas les utiliser!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Math CossMath Coss
    Quand je lis concourance, je pense gourance. Je suis le seul ?
  • pappuspappus
    Mon cher Math Coss
    Tu n'es pas le seul!
    Concourance n'est pas dans le dictionnaire.
    J'ai souvent dit que l'enseignement du français dans notre beau pays était du niveau de celui des mathématiques.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour,

    1. X la circumtrace de (AHa)
    2. le cercle circonscrit au triangle XHbHc est la clef de ce problème...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour,

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Orthique encyclopedie 6.pdf p. 30...


    Sincèrement
    Jean-Louis
  • quentinh21quentinh21
    Bonjour,
    Merci pour ces remarques et solutions.
    Pour ma part j'avais pensé à une solution projective: on sait que $B,C,A$ et le second point d'intersection de la $A-$symédiane sont harmoniques sur le cercle circonscrit. On peut donc facilement trouver une solution à partir de ça.
    Cordialement,
    Quentin H.
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