Trois cercles

Dacu
Dacu
dans Géométrie
Bonjour à tous,

Le cercle $(O_1, R_1)$ est tangent à l'intérieur du cercle $ (O_3 , R_3) $ au point $T_1$ , et le cercle $(O_2, R_2)$ est tangent à l'intérieur du cercle $(O_3,R_3)$ au point $(T_2)$. Sachant que $R_1<R_2$ et que le cercle $(O_2,R_2)$ passe par le point $O_1$ et coupe le cercle $(O_1,R_1)$ aux points $M$ et $N$ , calculez le rapport entre le produit des longueurs des arcs $T_2M$ , $T_2N$ et le carré de la longueur de l'arc $T_2T_1$.

Cordialement,
RIEN SANS DIEU!

Réponses

  • amateur
    amateur
    Le calcul analytique en prenant O3T1 comme axe des x et comme paramètres la position de O1 sur Ox et l'angle (O3T1,O3T2) est horrible... j'abandonne...
  • Dom
    Dom
    Une figure ?
  • fm_31
    fm_31
    Un schéma103756
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Pour $(O_3,R_3)$ et $O_1$ fixés, le lieu des points $O_2$ est l'ellipse (verte) de foyers $O_1$ et $O_3$ passant par le milieu de $[O_1;T_1]$.
    D'après Géogébra, le rapport demandé n'a pas l'air de donner quelque chose de visiblement intéressant.

    Cordialement,

    Rescassol103762
  • Dacu
    Dacu
    Bonjour Rescassol,

    Un homme a créé "GeoGebra" qui n'est qu'un programme et ne peut rien faire ... L'homme peut créer n'importe quoi .... un robot et / ou un programme ne peuvent rien créer car ils ont été programmés par un homme ... Comment ce ratio est-il calculé?

    Cordialement,

    Dacu
    RIEN SANS DIEU!
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    La philosophie à deux balles ne m'intéresse pas.
    Si tu nous dit quel résultat remarquable chercher, on peut essayer.
    Si c'est calculer pour calculer, aucun intérêt.
    Géogébra a au moins un avantage sur toi, il fournit la figure que tu as négligé de fournir.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Dacu
    Dacu
    Je pense que le problème proposé est toujours intéressant ... Si nous pouvons calculer les longueurs de ces arcs, alors le calcul de ce rapport est simple ...Je pense que le problème proposé est toujours intéressant, et la preuve est exactement cette ellipse dans le dessin ... Si nous pouvons calculer les longueurs de ces arcs, alors le calcul de ce rapport est simple ...
    Si au lieu du cercle (O2, R2) était par exemple une ellipse, alors comment calculer ce rapport?Merci beaucoup!
    RIEN SANS DIEU!
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour,
    source personnelle ou non de ce problème ?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Dacu
    Dacu
    Bon jour Jean-Louis Ayme,

    Je ne pense pas que la source du problème soit importante ...Je ne peux pas dire que c'est un problème auquel j'ai pensé seulement moi parce que je ne sais pas s'il n'a pas été proposé par quelqu'un d'autre avant moi ...

    Cordialement,

    Dacu
    RIEN SANS DIEU!
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour Dacu,

    je ''pense'' donc que c'est un problème personnel qui vous interroge...
    Avez-vous une piste ''in your mind''?

    L'égalité, sous quelle condition?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Dacu
    Dacu
    Je pense que je devrais trouver les valeurs de certains angles correspondant à ces arcs ...ou les résoudre analytiquement...
    RIEN SANS DIEU!
  • Dacu
    Dacu
    Bonjour à tous,
    Selon de figure, nous pouvons écrire les équations :

    x2+y2=R32
    x2+(y-R3+R1)2=R12
    (x-a)2+(y-b)2=R22

    Comment trouver les coordonnées a et b du centre du cercle (O2, R2) ?
    Merci beaucoup !
    Cordialement,
    Dacu104342
    RIEN SANS DIEU!
  • fm_31
    fm_31
    Bonjour ,
    peut-être un début de piste
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Il est clair que ce calcul de rapport d'arcs n'a pas le moindre intérêt..
    Par contre que le lieu du centre $O_2$ soit une ellipse, aurait été une question intéressante si la théorie des coniques n'avait pas disparu
    Autre question: trouver l'enveloppe de l'axe radical $MN\quad$ qui est un cercle.
    A part cela, on ne peut dire que cette configuration soit très passionnante!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonsoir à tous
    Voilà la figure de Dacu.
    $$O_2O_1+O_2O_3=O_2O_3+O_2T_2=O_3T_2=R_3.\qquad$$
    Le point $O_2$ décrit bien l'ellipse de foyers $O_1$ et $O_3$ signalée par Rescassol.
    Ensuite, on transforme le cercle $\Gamma_2$ par la défunte inversion par rapport au cercle $\Gamma_1$.
    Comme il passe par le pôle $O_1$ de l'inversion, il se transforme justement en l'axe radical $MN$.
    Comme $\Gamma_2$ est tangent en $T_2$ au cercle $\Gamma_3$, la droite $MN$ est tangente au cercle $\gamma$, transformé du cercle $\Gamma_3$ par l'inversion $\Gamma_1$ au point $P=\Gamma_1(T_2)$, image du point $T_2$ par l'inversion $\Gamma_1$.
    Cette preuve que j'aurais pu comprendre quand j'étais bachelier est évidemment off limits aujourd'hui!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus104396
  • Dacu
    Dacu
    Bonjour fm_31,
    Merci beaucoup, c'est très agréable et simple, mais comment nous faisons tous les calculs analytiques manuellement, c'est-à-dire sans l'aide du programme GeoGebra ?
    Cordialement,
    Dacu
    RIEN SANS DIEU!
  • pappus
    pappus
    Mon cher Dacu
    Tu ne peux rester dans le vague éternellement!!!
    Quels calculs et pour faire quoi?
    Si c'est pour calculer ton rapport d'arcs, c'est du temps perdu.
    Si c'est pour écrire l'équation de l'ellipse de Rescassol ou bien celle de mon cercle enveloppe, cela pourrait se comprendre!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • fm_31
    fm_31
    @Dacu "mais comment nous faisons tous les calculs analytiques manuellement,"
    Avec les coordonnées des points, on peut établir les équations des droites, des cercles. Puis l'intersection des cercles et enfin les arcs.
    Mais comme déjà dit par d'autres, ça risque d'être un peu lourd pour arriver à quoi ?
    Cordialement.
  • Dacu
    Dacu
    Bonjour fm_31,

    J'ai résolu!

    À partir des équations
    x2+y2=R32
    x2+(y-R3+R1)2=R12
    (x-a)2+(y-b)2=R22 , nous obtenons b=[2R3(R3-R2)-R1(2R3R1)]:[2(R3-R1)] et a2=(R3-R2)2-b2 et donc et toutes les autres valeurs requises pour le calcul de rapport.Merci beaucoup!

    Cordialement,

    Dacu
    RIEN SANS DIEU!
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