Cardinal d'un espace affine
Quand on définit un espace affine comme un ensemble de "points"(éléments) et de "droites" (sous-ensembles de points) tel que :
- étant donné deux points, il existe une et une seule droite qui les contient,
- étant donné une droite et un point, il existe une seule droite parallèle (pas de point commun) passant par le point,
- il existe trois points non-colinéaires (c'est-à-dire au moins un point et une droite qui ne content pas ce point),
on aboutit à ce que le cardinal minimum d'un tel ensemble soit 4, c'est-à-dire que la figure minimale est composée de quatre points non alignés trois par trois et/ou 6 droites concourantes trois par trois.
On définit maintenant un espace affine à partir d'un espace vectoriel, comme un ensemble de points tel que :
- à tout couple (a,b) correspond un élément unique de l'espace vectoriel (noté ab),
- à tout couple (point a, vecteur v) correspond un élément unique b tel que ab=v,
- relation de Chasles.
Les deux définitions de l'espace affine ne sont pas équivalentes, puisque la première ne nécessite pas l'existence préalable d'un corps. Quand, quelque soit la définition utilisée, on reste dans C2 ou R2, cela n'a pas beaucoup d'importance. En réalité si on ne suppose pas l'existence d'un corps, je crois qu'il faut ajouter à la première définition un ou deux axiomes pour obtenir les propriétés habituelles, notamment le théorème de Desargues.
Ma question est la suivante : est-il légitime, dans le cadre de la deuxième définition, de se poser la question du cardinal minimum d'un espace affine ? Si c'est une question simple (algèbre taupine), merci de me mettre sur la voie de la réponse.
Merci et bon we à tous.
- étant donné deux points, il existe une et une seule droite qui les contient,
- étant donné une droite et un point, il existe une seule droite parallèle (pas de point commun) passant par le point,
- il existe trois points non-colinéaires (c'est-à-dire au moins un point et une droite qui ne content pas ce point),
on aboutit à ce que le cardinal minimum d'un tel ensemble soit 4, c'est-à-dire que la figure minimale est composée de quatre points non alignés trois par trois et/ou 6 droites concourantes trois par trois.
On définit maintenant un espace affine à partir d'un espace vectoriel, comme un ensemble de points tel que :
- à tout couple (a,b) correspond un élément unique de l'espace vectoriel (noté ab),
- à tout couple (point a, vecteur v) correspond un élément unique b tel que ab=v,
- relation de Chasles.
Les deux définitions de l'espace affine ne sont pas équivalentes, puisque la première ne nécessite pas l'existence préalable d'un corps. Quand, quelque soit la définition utilisée, on reste dans C2 ou R2, cela n'a pas beaucoup d'importance. En réalité si on ne suppose pas l'existence d'un corps, je crois qu'il faut ajouter à la première définition un ou deux axiomes pour obtenir les propriétés habituelles, notamment le théorème de Desargues.
Ma question est la suivante : est-il légitime, dans le cadre de la deuxième définition, de se poser la question du cardinal minimum d'un espace affine ? Si c'est une question simple (algèbre taupine), merci de me mettre sur la voie de la réponse.
Merci et bon we à tous.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ta première "définition" n'est pas celle d'un espace affine au sens où on l'entend habituellement. Ça ressemble plus à l'axiomatique d'Euclide (de loin).
Peux-tu préciser pourquoi tu qualifies d'espace affine le premier truc que tu as défini ?
Une bonne référence c'est Algèbre Géométrique d'Artin. Il démontre comment à partir de la formulation axiomatique (et en ajoutant un certain nombre d'axiomes supplémentaires sur l'existence de symmétries) on arrive à faire émerger la structure vectorielle et celle de corps. On retombe sur la notion d'espace affine classique.
Oublions l'approche axiomatique (pour laquelle il faut au moins 4 éléments dans un espace affine) La question qui 'intéresse est: la définition vectorielle implique-t-elle un nombre minimal d'éléments ?
Cordialement.
La définition que j'ai donnée est, au contraire, une définition "pure" d'un espace affine, celle qui demande peu de propriétés sous-jacentes. C'est vrai que pour faire ensuite de la vraie géométrie l'auteur ajoute l'axiome de Desargues et/ou de Pappus..
J'ai commencé à éudier cela dans un petit livre assez élémentaire: "Foundations of projective geometry" par Robin Hartshorme (2009).
Oublions cette géométrie axiomatique (c'est rèsdur de lire le livre de d'Antin) : la question du cardinal d'un espace affine défini à partir d'un espace vectoriel et des axiomes bien connus entraîne-t-elle la nécessité d'un nombre minimum d'éléments... ?. Dans l'approche précédente,genre Euclide en effet, c'est 4.
Cordialement et merci encore pour ce que vous faites pour nous. J'use beaucoup la patience de Pappus...
Pour moi, ils servent à calculer avec des éléments(points) d’un ensemble en transportant la structure d’espace vectoriel sur cet ensemble. Mais, dans tout ce que je vois en mathématiques, un espace affine a déjà un espace directeur qui lui est assigné. Ce que je veux dire, c’est que tel ensemble $\mathcal{E}$ est affine parce qu’on a déjà à disposition un certain espace vectoriel $E$ qui s’avère effectivement être...sa direction, après avoir vérifié les conditions de la définition d’un espace affine par les espaces vectoriels.
Ce qui m’intéresserait, ce serait de pouvoir « mettre » une structure affine sur un ensemble arbitraire, est-ce possible??
Je reformule, peut-on, étant donné un ensemble $\mathcal{E}$ sans aucune structure construire ou trouver un espace vectoriel $E$ tel que $E$ soit la direction de $\mathcal{E}$?
Si ce n’est pas possible, pourquoi certains auteurs disent qu’on « munit » tel ensemble d’une structure d’espace affine? Parce que munir sous-entend bien que l’espace vectoriel sous-jacent n’était pas connu, ou alors n’était pas naturel?
Je ne compte pas reprendre avant... quelques années, D'ailleurs ARTIN ne va pas à fond dans l'approche que j'ai citée plus haut, il passe vite au corps, mais bon, le niveau me dépasse.
Il reste la question lancinante: la question d'un nombre MNIMAL d'éléments dans un espace affine défini à partir d'un espace vectoriel se pose toujours à moi... nous...
Dans la définition axiomatique, c'est 4.
Merci de votre aide et bonne soirée
Ce qui est plus intéressant, c'est la question des valeurs possibles pour le cardinal d'un espace affine fini, même d'un plan, et je me demande si ce n'est pas un problème ouvert, même encore aujourd'hui. C'est de la Combinatoire.
J'ai trouvé cet article, mais il a cinquante ans, et il y a peut-être eu des progrès depuis.
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA70014.pdf
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Oui, on peut vectorialiser un espace affine...
Il faut partir de la définition que j'ai donnée plus haut d'un espace affine (définition axiomatique) et définir un espace vectoriel mais il faut que les éléments de l'espace affine soient des éléments d'un CORPS, sinon pas d'espace vectoriel.
L'exemple le plus simple: tu pars de l'espace affine constitue par le repère réel xOy: c'est aussi un espace vectoriel si tu le munis de la relation d'équipollence, A tout couple A,B tu fais correspondre le vecteur AB et AB=C D ssi AC et BD ont même milieu. Attention, le vecteur AB ne veut pas dire "le segment orienté qui joint A et B" c'est un élément de l'espace vectoriel que tu as crée sur la même feuille de papier et tous les AB passent par le point O de l'espace vectoriel, que tu dessines en O ou ailleurs...
Donc, si j’ai compris ta réponse, si l’ensemble de départ n’est pas un corps, on a aucune chance de le « vectorialiser »?
Finalement, il faut une structure algébrique minimale sur un ensemble pour le « munir » d’une structure d’espace affine?
Faire correspondre (et donc transporter) de manière bi-univoque deux éléments de cet ensemble à un vecteur d’un espace vectoriel arbitraire ne devrait pourtant pas poser de problèmes, non?
Amateur
Il y a des gens qui font de la géométrie sur des anneaux... mais c'est plutôt dans le forum algèbre je suppose...
Au temps pour moi.
Ça ressemble plus ou moins suivant les propriétés algébriques quon doit rajouter piur faire des figures