Arrivée d'une course virtuelle

drakkar · June 2020

[large]D’un point O, on ne peut se déplacer qu’en suivant les directions u et v.
On cherche à atteindre un cercle en minimisant la distance parcourue.[/large]

[small]Exemple dans la figure ci-dessous, OA a la direction de u et AB celle de v.
On veut minimiser la longueur OA+AB.[/small]

N.B. 1 : intuitivement, le point M semble être le point B qui réalise ce minimum. Mais je n’ai rien trouvé de simple pour le démontrer. Si c’est vrai, la solution géométrique est évidente.

N.B. 2 : la version concrète de ce problème est l’arrivée d’une course (virtuelle) de voiliers : u et v sont les directions optimales compte tenu de la direction du vent : depuis O, il n’est pas possible de naviguer dans le secteur (Ou,Ox). Le cercle de centre C est la ligne d’arrivée.

JFS · June 2020

Bonjour,

Pour être complet, il faudrait définir la ligne d'arrivée. Je ne vois pas l'intêret du cercle
On suppose par ailleurs que la vitesse du voilier est la même en parcourant u ou v.

Cordialement

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Si je t'ai bien compris, mais rien n'est moins certain, il s'agirait de minimiser la fonction $f(x,y)=x+y$ sachant que: $g(x,y)=(x-a)^2+(y-b)^2+2(x-a)(y-b)\cos(\theta)=R^2$
où $R$ est le rayon du cercle.
Amicalement
[small]p[/small]appus 103862

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Je pense, je crois, j'espère que ton minimum est atteint au point $m$ mais la géométrie ayant disparu, je n'en suis plus tout à fait sûr!
Il ne nous reste plus que les Pensées de Pascal, les Croyances de Descartes et l'Espérance de jours meilleurs pour la géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus 103870

pappus · June 2020

Mon cher JFS
Effectivement, il est plus réaliste de parler des vitesses et de minimiser le temps de parcours.
Quant à la ligne d'arrivée, il est plus logique de supposer que c'est une ligne droite ou un morceau de ligne droite et on tombe alors sur un problème de programmation linéaire tout à fait différent d'un problème d'extrema liés!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Quant au problème initial de Drakkar, il me semble plus intéressant à traiter du point de vue géométrique!

drakkar · June 2020

Cher tous ;-)

C'était mon premier message, alors je vous prie de m'excuser si je n'ai pas respecté certaines conventions !

à JFS : le cercle EST la ligne d'arrivée. C'est comme ça. Le jeu s'appelle Virtual Regatta..
Oui, la vitesse du vent est uniforme et celle du voilier est la même dans les 2 directions. Mais dans l'énoncé de deux lignes, il n'y a pas de vent, ni de voilier !

à pappus : bravo pour la transformation analytique de mon énoncé ! C'est bien ça. Mais alors... ? ;-)

Amicalement

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Oui mais alors quoi?
C’est là que les choses sérieuses commencent ou plutôt commençaient!
Car aujourd’hui en dehors des triplets de points alignés ou de droites concourantes, on se tourne plutôt les pouces en géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus

drakkar · June 2020

Mon cher pappus

J'étais arrivé à une impasse, en recherchant moi-aussi un minimum... qui ne donne pas le point M bien séduisant de la figure (figure augmentée de quelques éléments ci-dessous).

La droite (O,u) a pour équation y=ax
Le cercle : (x-x0)²+(y-y0)² = R²
Le point A a pour abscisse t et pour ordonnée y(A) = a.t

Le point B a aussi pour abscisse t et il est sur le cercle. Son ordonnée y est donc telle que (y-y0)² = R² - (t-x0)²
C’est à dire : y(B) = rac(R² - (t-x0)²) + y0

Il s’agit de minimiser f(t)=OA+AB.

f(t) = t rac(1+a²) + rac(R² - (t-x0)²) + y0 - at
f’(t) = rac(1+a²) -a + (t-x0) / rac(R² - (t-x0)²)

On pose k = rac(1+a²) - a

f’(t) = 0 donne : (t-x0)² = k²R²/(1+k²)

Ce n'est pas le point M dont l'abscisse x vérifie : (x-x0)² = R² / (x0²+y0²)

Amicalement
Drakkar 103892

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Compare nos deux figures.
Déjà on a pas choisi le même repère.
Le mien n'est pas orthonormé!
Le tien l'est!
C'est normal et ce n'est pas un reproche.
Dans ton repère, la ligne d'arrivée qui est un cercle a une équation simple.
Dans le mien, il a une équation plus compliquée.
Dans ton repère, la fonction (de deux variables ) à minimiser a une expression compliquée.
Dans le mien, elle a une expression simple.
Ce qu'on gagne d'un côté, on le perd de l'autre.
Donc on va rester dans ton repère!
Tu ne nous l'as pas décrit exactement mais on se doute un peu de l'endroit où il est situé.
Ce qui n'est pas clair dans tes calculs, c'est la fonction de deux variables à minimiser.
Tu es en pleine mer, pas trop loin du repère de départ et loin de la ligne d'arrivée que tu ne vois pas.
La fonction de deux variables à minimiser est indépendante de la ligne d'arrivée que tu peux donc oublier.
Tu n'en as rien à cirer pour le moment!
Alors efface de ta figure ce maudit cercle et ne garde que les points nécessaires au calcul de cette fonction de deux variables
Seulement tu vas être aussi méticuleux que moi sur ma figure où pour chaque point j'ai mis entre parenthèses ses coordonnées dans le repère que j'ai utilisé.
Alors tu vas faire la même chose.
Garde les points que tu veux avec l'étiquette que tu veux mais en regard de chaque point je veux voir ses satanées coordonnées.
Ensuite, seulement ensuite, tu pourras donner l'écriture de cette fonction!
Amicalement
[small]p[/small]appus

drakkar · June 2020

Mon cher pappus,

J’ai rédigé un énoncé de 2 lignes le plus court et clair que j’ai pu.
Court, je pense avoir réussi !
Mais je n’aurais pas dû écrire ce nota bene 2 pour donner une interprétation concrète de mon énoncé ! C’est pourtant de là qu’est parti le problème mais cet ajout n’a fait que fournir des informations imprécises.

Je reprends tes remarques dans l’ordre.

1°) « L’endroit où est situé le repère »
Il est représenté sur la figure (à une erreur près sur x et y que je vais rectifier sournoisement dans le message précédent)
O est le bateau avant déplacement
(O,y) est de direction v
(O,x) complète pour obtenir un repère (O,x ,y) orthonormé, orientation indifférente.
La droite passant par O et de direction u a pour équation y=ax dans ce repère (a = constante)
Le cercle d’arrivée a pour centre C(x0,y0) et pour rayon R.
On cherche B de façon que OA+AB soit minimum.

2°) « la fonction (de deux variables) à minimiser »
f(t) = t.rac(1+a²) + rac(R² - (t-x0)²) + y0 – a.t
n’est pas à 2 variables : a, R, x0, y0 sont des constantes.

3°) « La fonction de deux variables à minimiser est indépendante de la ligne d'arrivée »
A priori, je ne vois pas pourquoi !
Tes remarques 1) et 2) me donnent l’impression que j'ai oublié une info dans l’énoncé ! Mais je ne vois pas laquelle.

4°) « efface ce maudit cercle »
Mais pas du tout ! Si on change la ligne d’arrivée, le trajet change et son minimum aussi. Exemples avec des cas extrêmes comme « le cercle passe par O » ou « le cercle a un rayon nul » ; dans le premier cas, le trajet minimum a pour longueur 0, dans le 2ème OC.
Alors je garde mon cercle !

5°) « ne garde que les points nécessaires au calcul de cette fonction » avec « en regard de chaque point ses satanées coordonnées »
Fait ! Faut bien que j’accepte quelque chose, surtout quand c’est demandé si gentiment :-)

Bien amicalement ! 103926

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Quelle distance $f(x,y)$ a parcouru le bateau depuis son point de départ $O(0,0)$ pour se retrouver en pleine mer au point $B(x,y)$ en tirant bord sur bord, les coordonnées étant prises dans ton repère orthonormé?
Tu vois bien que cette question ne fait pas référence à la ligne d'arrivée quelle qu'elle soit!
Donc l'écriture de $f$ est indépendante de l'équation de ton cercle, n'est-ce pas?
Amicalement
[small]p[/small]appus

drakkar · June 2020

Mon cher pappus

J'ai eu du mal à comprendre ce que tu voulais me faire écrire...

Si je reprends tes notations, les coordonnées (x,y) de B impliquent que celles de A sont (x,ax) et non (t,at) comme sur la figure.
OA² = x²(1+a²) et AB = HB-HA = y - ax
Par suite f(x,y) = OA + AB = x. rac(1+a²) + y - ax.

f(x,y) = x.(rac(1+a²) - a) + y

Vu comme ça, il est clair que f ne dépend pas du cercle [size=x-small](mais va finir par en dépendre un jour ou l'autre !)[/size]

Bon...

Amicalement
Drakkar

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Eh bien, tu vois que ce n'était pas si difficile que cela!
L'important, ce n'est pas tellement l'expression $f(x,y)$ que tu as trouvée mais que tu as compris ce que je te demandais!
Je note que tu as changé un peu ton repère en permutant les coordonnées $x$ et $y$.
Une petite erreur sur ta figure: la droite $OA$ a pour équation $y=ax$ et non $y=ax+b$
Donc on oublie tes premiers calculs du début de ce fil et on se concentre sur les nouveaux que tu vas nous faire!
On a bien ce qu'on appelle en mathématiques un problème d'extrema liés, on cherche à minimiser la fonction de deux variables:
$$f(x,y)=x(\sqrt{1+a^2}-a)+y$$
sachant que:
$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$
J'attends maintenant la suite de tes calculs!
Amicalement
PS
Essaye de te mettre au $LaTeX$.
En utilisant l'onglet citer, regarde comment j'ai écrit mes deux formules mathématiques!

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Voici ma propre figure, celle que je te demandais.
Le maudit cercle a disparu à l'horizon ou en dehors des limites de l'épure.
En voyant ta variable $t$, je vois que tu as encore du mal avec les variables muettes!
Je t'impose les coordonnées $(x,y)$ du point $B$, donc les coordonnées des autres points suivent automatiquement!
Amicalement
[small]p[/small]appus 103980

drakkar · June 2020

Mon cher pappus

Merci de m'avoir obligé à faire un tour du côté des multiplicateurs de Lagrange. C'est toujours un plaisir d'apprendre.
Heureusement que tu as volontairement laissé traîner les mots "extrema liés" sinon je n'aurais jamais trouvé.

Mais je n'irai pas jusqu'à me mettre au $Latex$, car j'ai même fini par abandonner ma tentative de réutiliser Math Type !
Alors il va falloir supporter mon texte brut !
J'allège quand même tes souffrances en posant (comme dans ma solution) k = rac(1+a²) - a

Posons g(x,y) = (x-x0)² + (y-y0)² - R²

Il s'agit de minimiser f(x,y) = kx + y
sachant que g(x,y)=0

Le théorème des multiplicateurs de Lagrange dit (dans le cas particulier de R²)
que si f admet un extremum alors les vecteurs dérivées partielles de f et de g sont colinéaires.

Donc il existe un réel p tel que
[k,1] = p.[2(x-x0) , 2(y-y0)]
Ici, en texte brut, les crochets entourent les coordonnées d'un vecteur.

Finalement, on aboutit aux 3 équations suivantes avec les inconnues x,y,p.

2p(x-x0)=k
2p(y-y0)=1
(x-x0)²+(y-y0)²=R²

qui permettent d'obtenir p puis x et y

x = kR/rac(k²+1) + x0
y = R/rac(k²+1) + y0

avec k = rac(1+a²) - a

Tout ça pour aboutir à ma solution (plus haut dans ce fil) !
Mais bon... j'ai appris les multiplicateurs de Lagrange :-)
Merci pappus !

Amicalement
Drakkar

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Ce que j'aime en toi, c'est que tu réagis au quart de tour.
Le calcul que tu as mené en premier marche évidemment.
Tu devrais comparer les deux méthodes.
Mais ce qui m'intéresse, c'est la traduction graphique du résultat de tes calculs.
Peux-tu m'expliquer cela sur une belle figure où l'on verrait et le point de départ et le point d'arrivée sur ce cercle qui te tient tant à cœur
[small]p[/small]appus.
PS
Heureux de t'avoir appris l'existence des multiplicateurs de Lagrange.
Mais leur importance théorique dépasse et de beaucoup ton simple exercice!

drakkar · June 2020

Mon cher pappus
Je croyais que mes souffrances étaient terminées... ;-)
Je résume, avec mes superbes notations $Montexte$ panachées de $Latex$

Le point cherché a pour coordonnées :

$x = kR/\sqrt{k²+1} + x_0$
$y = R/\sqrt{k²+1} + y_0$
$k = \sqrt{1+a²} - a$

J'ai bien sûr pensé à poser $a = \tan(\alpha)$
mais j'ai été bloqué par les formules trigo en obtenant $k = (1-\sin(\alpha))/\cos(\alpha)$ [small](notation pas très pure, certes, mais compréhensible...)[/small]

Gênant ce $\sin$ au numérateur, on aimerait plutôt un $\cos$.
D'où, en posant $\beta=\pi/2 - \alpha$
$k = (1-\cos(\beta))/\sin(\beta) = \tan(\beta/2)$ [small](en allant vite pour abréger mes souffrances)[/small]

On reprend $x$ et $y$ ci-dessus pour obtenir :

$\frac {(y-y0)} {(x-x0)} = \tan(\frac {\pi}{2} - \frac{\beta}{2})$

Si on note $(O,b)$ la bissectrice de l'angle du secteur limité par les demi-droites $(O,u)$ et $(O,v)$, et si on n'oublie pas que $\alpha$ est la pente de la demi-droite $(O,u)$ dans le repère $(O,x,y)$, $\frac {\pi}{2} - \frac{\beta}{2}$ est la mesure de l'angle des demi-droites $(O,b),(O,v)$, ce qui permet de construire géométriquement le point $M$ cherché initialement : intersection de $(O,b)$ et du cercle de centre $C$ et de rayon $R$.

Voilà... Je ne doute pas que ton caractère mordant m'allumera une dernière fois. B-)
Mais merci pour ton aide précieuse et intelligente qui m'a donné l'impression de trouver tout seul (c'est important !).

Amicalement.
Drakkar 104028

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Compare ta dernière figure (juste au dessus) avec ma première au début de ce fil (que je n'ai pas justifiée) où les droites en pointillé rouge sont censées être parallèles.
As-tu trouvé oui ou non la même chose que moi?
Si non, tes souffrances sont loin d'être terminées!
Saurais-tu justifier ma figure avec la méthode que je suggère dans un repère non orthonormé,(nos aïeux parlaient d'axes obliques)?

drakkar · June 2020

Mon cher pappus

Oui, oui, bien sûr ! J'ai oublié x0 et y0 qui sont bien là, dans les formules pour x et y !
Il suffit donc de translater la bissectrice que j'ai tracée du vecteur $w = (x0,y0)$
Pour répondre à ta première question, j'ai trouvé la même chose que toi si ton parallélogramme de base est un losange, ce qui semble être le cas, $a$ $vista$ $de$ $nas$ (trop facile, $Latex$).
Quant à ta dernière question "justifier ma figure avec la méthode que je suggère dans un repère non orthonormé", je ne vois pas de quoi il retourne :

faire la démonstration en utilisant ton repère oblique ? Hum... Adieu le produit scalaire, les angles, la bissectrice... Je déclare forfait.
faire une démonstration purement géométrique ? J'avais abandonné avant de passer à l'analytique.

Amicalement
Drakkar 104040

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Une chose est de faire les calculs et tu sais les faire.
Autre chose est d'en tirer une figure correcte et là tu as encore des progrès à faire
Sans doute un peu plus d'attention!
Oui mon parallélogramme est un losange!
J'ai travaillé dans le repère $\{O; \bf (u, v)\}$
avec $\parallel\bf u\parallel=1\qquad$, $\parallel\bf v\parallel=1\qquad$ et $\widehat{\bf (u,v)}=\theta\qquad$
C'est ce que nos aïeux appelaient des axes obliques.
L'écriture de la fonction distance à minimiser est simple:
$$f(x,y)=x+y$$
Par contre comment justifies-tu l'équation (un peu plus compliquée) du cercle?
Après il n'y a plus qu'à appliquer la méthode des multiplicateurs de Lagrange, (qui fonctionne aussi dans un repère non orthonormé!!) et le tour est joué!
Amicalement
[small]p[/small]appus

drakkar · June 2020

Mon cher pappus

Dans la figure jointe, le minimum a été indiqué, et c'est suffisant !
Le cercle est pour l'instant centré en O.

L'équation du cercle dans le repère orthonormé est X² + Y² = R² (1).
En utilisant abondamment la figure, les coordonnées du point M sont :
X = x + ycos($\theta$)
Y = y sin($\theta$)
En reportant dans (1) :
x² + y² + 2xy cos($\theta$) = R²
Après, il reste à déplacer le cercle d'une translation (a,b) pour aboutir, après un subtil bidouillage avec les noms des variables x,y :
(x-a)² + (y-b)² + 2(x-a)(y-b) cos($\theta$) = R².

Amicalement
Drakkar 104058

pappus · June 2020

Mon cher Drakkar
Essaye d'appliquer la méthode des multiplicateurs de Lagrange avec mon repère non orthonormé juste pour la comparer avec ton propre calcul fait, lui, dans un repère orthonormé.
Tu seras ainsi convaincu que cette méthode marche quel que soit le repère choisi!
Amicalement
[small]p[/small]appus

drakkar · June 2020

Mon cher pappus
Avec
$f(x,y)=x+y$
$g(x,y)=(x-a)^2+(y-b)^2+2(x-a)(y-b)\cos\theta-R^2$

il s'agit de minimiser $f(x,y)$ sachant que $g(x,y)=0$.
Le théorème des multiplicateurs de Lagrange dit que, si f a un extremum, alors il existe $\lambda$ non nul tel que
$df(x,y) = \lambda.dg(x,y)$

En posant $X=x-a$, $Y=y-b$, et $\mu=\dfrac{2}{\lambda}$ on aboutit au système de 3 équations à 3 inconnues $x, y, \mu$ :
$\mu = X + Y\cos\theta$
$\mu=Y+X\cos\theta$
$X^2+Y^2+2XY\cos\theta-R^2=0$

Le système est symétrique en $X$ et $Y$ donc $X=Y$.
Ce qui prouve que le point cherché est sur la bissectrice des parallèles aux axes du repère passant par C, centre du cercle.
On reporte dans $g$ :
$X^2 = \dfrac{R^2}{2(1+\cos\theta)}$
$X^2=\dfrac{R^2}{4\sin^2\frac{\theta}{2}}$

On obtient 2 valeurs pour $X$ donc pour $x-a$ et $y-b$.
La valeur à conserver est celle qui donne le point $(x-a,y-b)$ le plus proche de $O$ (du moins je pense !).
Il faudrait aussi vérifier qu'il s'agit bien d'un extremum et même d'un minimum.

Amicalement
drakkar

PS : j'ai fait quelques progrès en Latex, pas en dessin géométrique où j'ai eu la tentation de jeter la souris sur l'écran en m'obstinant avec Geogebra.

pappus · June 2020

Merci Drakkar!
Le $\LaTeX$ n'est pas si difficile d'emploi s'il ne s'agit que d'écrire des formules mathématiques dans une discussion de ce forum.
C'est même un geste de courtoisie pour des personnes très âgées comme moi dont la vue est déficiente.
Par contre s'il s'agit d'écrire tout un article ou tout un livre en $\LaTeX$, c'est une autre paire de manches.
Tu peux en avoir une petite idée en déchiffrant sur ce forum les interventions absolument passionnantes de notre ami pldx1 qui, lui, est un véritable professionnel du $\LaTeX$! Utilise l'option citer du forum pour avoir un certain accès au texte source!
S'il fallait retenir quelque chose de ce fil, ce sont bien les multiplicateurs de Lagrange dont l'importance dépasse largement les limites étroites de ton petit exercice.
C'est grâce à eux qu'on peut démontrer par exemple le théorème spectral, les multiplicateurs de Lagrange apparaissant comme les valeurs propres d'un opérateur symétrique.
Lagrange s'en est servi la première fois pour chercher parmi les tétraèdres dont les aires des faces sont données ceux dont le volume est maximum!
Pour finir en beauté ton exercice de façon graphique, essaye de tracer les lignes de niveau de la fonction distance et de les placer par rapport à la ligne d'arrivée.
La configuration obtenue est en effet très importante!
Amicalement
[small]p[/small]appus

drakkar · June 2020

Mon cher pappus

Je manque d'entraînement pour réaliser des dessins géométriques avec un logiciel digne de ce nom.
J'ai dû faire appel à mon fils qui a créé 2 figures avec lignes de niveau, dont une animée.

Ces lignes de niveau sont des droites $x+y=h$, perpendiculaires à la première bissectrice. La plus épaisse en rouge est tangente au cercle au point m réalisant le $"meilleur"$ point d'arrivée pour le problème du bateau.

Encore merci pour ton aide ainsi que pour m'avoir fait découvrir les multiplicateurs de Lagrange.

Amicalement
$drakkar$ 104232

pappus · June 2020

Merci Drakkar
C'est ainsi que j'avais fait ma première figure dans ce fil où j'avais effacé les lignes de niveau pour mieux te faire réfléchir.
Tu vois qu'on pouvait obtenir le minimum sans le moindre calcul!
Amicalement et Bonne Chance à toi!
[small]p[/small]appus
PS
Dans quelle région doit se trouver constamment le bateau pour être sûr d'atteindre le minimum?
D'où la nécessité pour le skipper de toujours savoir où il est exactement!!

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