Un problème sans problème

% Jean-Louis Ayme - 09/06/2020 - Un problème sans problème

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syms a b c real  % Les longueurs des côtés

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];

%-----------------------------------------------------------------------

M = [0; 1; 1];  % Milieu de [BC]

Q = ProjectionOrthogonaleBary(B,CA,a,b,c); % Pied Q de la B-hauteur
R = ProjectionOrthogonaleBary(C,AB,a,b,c); % Pied R de la C-hauteur

% On trouve
% Q =
% - a^2 - b^2 + c^2
%   0
%   a^2 - b^2 - c^2
% R =
% - a^2 + b^2 - c^2
%   a^2 - b^2 - c^2
%   0
 
H = OrthocentreBary(A,B,C,a,b,c); % Orthocentre du triangle ABC

% On trouve
% H =
%  (a^2 - b^2 + c^2)*(a^2 + b^2 - c^2)
%  (- a^2 + b^2 + c^2)*(a^2 + b^2 - c^2)
%  (- a^2 + b^2 + c^2)*(a^2 - b^2 + c^2)
 
N = MilieuBary(Q,R,a,b,c);  % Milieu de [QR]

F=8*a^2*b^2*c^2*(- a^2 + b^2 + c^2)^2; % Facteur de simplification0
N=FactorT(N/F);

% On trouve:
% N =
% a^2*b^2 + a^2*c^2 - b^4 + 2*b^2*c^2 - c^4
% b^2*(- a^2 + b^2 + c^2)
% c^2*(- a^2 + b^2 + c^2)
 
J = CentreCercleCirconscritBary(M,N,H,a,b,c);

F=(- a^2 + b^2 + c^2)*(a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(b - a + c)/(2*b^2*c^2); % Facteur de simplification
J=FactorT(J/F);

% On trouve:
% J =
% 4*(b + c)*(b - c)*(a^2 - b^2 + c^2)*(a^2 + b^2 - c^2)
% - a^6 - 4*a^4*b^2 + 4*a^4*c^2 + 3*a^2*b^4 + 2*a^2*b^2*c^2 - 5*a^2*c^4 + 2*b^6 - 2*b^4*c^2 - 2*b^2*c^4 + 2*c^6
% a^6 - 4*a^4*b^2 + 4*a^4*c^2 + 5*a^2*b^4 - 2*a^2*b^2*c^2 - 3*a^2*c^4 - 2*b^6 + 2*b^4*c^2 + 2*b^2*c^4 - 2*c^6

JH=Wedge(J,H); % Droite (JH)

F = (a^6 - 3*a^2*b^4 + 6*a^2*b^2*c^2 - 3*a^2*c^4 + 2*b^6 - 2*b^4*c^2 - 2*b^2*c^4 + 2*c^6);  % Facteur de simplification
JH=FactorT(JH/F);

% On trouve:
% JH = [ -2*a^2*(- a^2 + b^2 + c^2), (a^2 - b^2 + c^2)*(a^2 + b^2 - c^2), (a^2 - b^2 + c^2)*(a^2 + b^2 - c^2)]

T=Wedge(JH,[1,0,0]); % Point d'intersection de (H) et (BC)

% On trouve T = [0; 1; -1] qui est de somme nulle 
% donc (JH) et (BC) sont parallèles