Exercice de géométrie de 3è du Lebossé Hémery

Bonjour à tous
C'est mon premier post et donc je ne suis pas sûr que mon message soit bien en phase avec les attentes du forum.
J'ai lu la charte qui précise que tous les niveaux sont acceptés, donc je me lance avec un exercice d'application du théorème de Thalès issu des célèbres livres de Lebossé Hémery niveau 3è.
Je précise que je suis un adulte sans aucune compétence en mathématiques (vous l'aviez sans doute deviné), qui se replonge dans de vieux ouvrages scolaires.
Voici l'énoncé du problème.

Soit un triangle ABC, on désigne par D, E, F les pieds des hauteurs issues de A, B et C et par H l'orthocentre. Soit P l'intersection de AD et EF.
1 - Montrer que la hauteur BE est bissectrice de l'angle DEF
2 - Montrer que EP/ ED = AP/ AD = HP/ HD

Je m'excuse de ne pas encore maîtriser la typologie pour écrire proprement les équations, notamment les angles.
Voici comment j'essaie de résoudre le problème.

1 - Dans le quadrilatère convexe AFHE, les angles AFH et HEA sont droits et opposés => AFHE est un quadrilatère inscriptible.
Pour les mèmes raisons, le quadrilatère convexe CDHE est inscriptible.
AFHE inscriptible => le quadrilatère croisé AHEF est également inscriptible => les angles FEH et FAH sont égaux. De mème, les angles AFE et EHA sont égaux.
De la même façon, CDHE inscriptible => CDEH est un quadrilatère croisé inscriptible => les angles DEH et DCH sont égaux. De même les angles EHC et EDC sont égaux.
Or l'angle B = 90-BCF et B = 90-BAD donc les angles BCF et BAD sont égaux => les angles DCH et FAH sont égaux => les angles FEH et DEH sont égaux : cqfd

2 - En traçant la parallèle à la bissectrice BE passant par D, on détermine K à l'intersection de cette parallèle avec la droite FE.
D'après le théorème de Thalès, on peut donc dire : HP / HD = EP / EK
Or EK = ED car le triangle DEK est isocèle
on obtient donc HP / HD = EP / ED

En revanche, je ne parviens pas à montrer que HP/ HD = AP/ AD
Merci pour votre aide, en espérant ne pas avoir été trop illisible.