Une formule

Mon cher Zephyr
Je suis heureux de voir que tu reviens sur le forum.
J'espère que tu y resteras longtemps.
La notation $PQ$ désigne la distance euclidienne du point $P$ au point $Q$.
Et le "." est la multiplication dans le corps des réels.
Quant au point $I$, il désigne aussi bien le cercle que son centre.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir pappus et Jean-Louis,

Je vais utiliser trois formules (exercices) valables pour le quadrilatère tangentiel.

Formule 1

$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{IA.IB}{IC.ID }.$

Formule 2

$\dfrac{BC}{DA}=\dfrac{IB.IC}{ID.IA }.$

Formule 3

$ IA \cdot IC + IB \cdot ID = \sqrt {AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA}.$

En multipliant par $IB$ dans la formule 3, on a :

$ IA \cdot IB \cdot IC + IB^2 \cdot ID = IB\sqrt {AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA}.$

En divisant ensuite par $ID$, il vient :

$ \dfrac{IA \cdot IB \cdot IC}{ID} + \dfrac{IB^2 \cdot ID}{ID} =\dfrac{IB}{ID}\sqrt {AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA}$

soit

$ \dfrac{IA \cdot IB \cdot IC}{ID} + IB^2 =\dfrac{IB}{ID}\sqrt {AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA}.$

La formule 1 donne $CD=\dfrac{AB.IC.ID}{IB.IA }$ et la formule 2 donne $DA=\dfrac{BC.IA.ID}{IB.IC }.$

Par suite, on a :

$ \dfrac{IA \cdot IB \cdot IC}{ID} + IB^2 =\dfrac{IB}{ID}\sqrt {AB \cdot BC \cdot \dfrac{AB.\not{IC}.ID}{IB.\not{IA} } \cdot \dfrac{BC.\not{IA}.ID}{IB.\not{IC} }}$

soit

$ \dfrac{IA \cdot IB \cdot IC}{ID} + IB^2 =\dfrac{IB}{ID}\sqrt {\dfrac{AB^2 \cdot BC^2 \cdot ID^2}{IB^2} }=AB.BC.$

Amicalement

Bonjour
Il s'agit de montrer que les points $I$, $p$, $q$, $t$ sont cocycliques.
On a pas tellement le choix, il faut montrer l'égalité suivante entre angles orientés de droites:
$$(Ip,Iq)=(tp,tq)\qquad$$.
Il faut donc savoir manipuler les angles orientés de droites. Disons donc que c'est foutu d'avance mais jouons le jeu!
Par translation:
$$(tp,tq)=(Is,Ir)\qquad$$
C'était alors pratiquement gagné pour le bachelier des années quarante-cinquante (dont j'étais) qui connaissait son Lebossé-Hémery.
On a une rotation $\rho$ de centre $I$ transformant $d$ en $b$ et d'angle noté $(\overrightarrow{Id},\overrightarrow{Ib})$.
On décompose la rotation $\rho$ de deux façons différentes en produit de deux symétries axiales.
Je suppose, j'ose espérer que nos agrégatifs connaissent le théorème de Cartan-Dieudonné mais je n'en suis pas tout à fait sûr.
Mais ce qui est certain, c'est que, lorsque j'étais bachelier, je connaissais ce théorème de décomposition dans la tristounette dimension $2$!
Voir Lebossé-Hémery, page 96, article 158.
Par exemple, la symétrie par rapport à la droite $Ip\quad$ transforme $d\quad$ en $a\quad$ puis la symétrie par rapport à la droite $Iq\quad$ transforme $a\quad$ en $b\quad$.
Ainsi
$$(\overrightarrow{Id},\overrightarrow{Ib})=2(Ip,Iq)\qquad$$
De même la symétrie par rapport à la droite $Is\quad$ transforme $d\quad$ en $c\quad$ puis la symétrie par rapport à la droite $Ir\quad$ transforme $c\quad$ en $b\quad$.
Par suite:
$$(\overrightarrow{Id},\overrightarrow{Ib})=2(Is,Ir)\qquad$$
De la relation $$2(Ip,Iq)=2(Is,Ir)\qquad$$
on tire:
$$(Ip,Iq)=(Is,Ir)=(tp,tq)\qquad$$
Car la $"multiplication"$par $"2"$ est un isomorphisme du groupe des angles orientés de droites sur le groupe des angles orientés de vecteurs!
$QED$
[small]p[/small]appus