Application affine
Bonjour
Peut-on définir une application affine de la manière suivante ? (cela m’a l’air plus scolaire):
Soit $(E,\mathcal{E})$ un espace affine de dimension finie. On le vectorialise en un point $O$. On peut alors identifier un point $M$ au vecteur $\overrightarrow{OM}$. On considère une base $\mathcal{B}$ de $E$, si bien que l’espace affine est rapporté à un repère $(O, \mathcal{B})$.
Une application affine $f$ est une application de $\mathcal{E}$ dans lui-même de la forme :
$f : M \mapsto AM+B$ où $A$ est une matrice et $B$ un point de $\mathcal{E}$.
Merci
Peut-on définir une application affine de la manière suivante ? (cela m’a l’air plus scolaire):
Soit $(E,\mathcal{E})$ un espace affine de dimension finie. On le vectorialise en un point $O$. On peut alors identifier un point $M$ au vecteur $\overrightarrow{OM}$. On considère une base $\mathcal{B}$ de $E$, si bien que l’espace affine est rapporté à un repère $(O, \mathcal{B})$.
Une application affine $f$ est une application de $\mathcal{E}$ dans lui-même de la forme :
$f : M \mapsto AM+B$ où $A$ est une matrice et $B$ un point de $\mathcal{E}$.
Merci
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Réponses
Ça fait quand même pas mal de choses à rajouter (le point $O$, la base $\mathcal{B}$) par rapport à la définition intrinsèque. Ce serait donc plutôt une traduction de la définition quand on peut facilement vectorialiser, en particulier, si on est parti d'un espace vectoriel.
Cordialement.
On voit que tu es mal à l'aise avec les espaces affines c'est-à-dire avec la géométrie et que tu préfères te réfugier dans l'algèbre linéaire dans laquelle tu penses être plus en sécurité.
Mais quand je lis: je vois que tu vasouilles autant avec les espaces vectoriels et les applications linéaires.
Essaye de me dire pourquoi la phrase que j'ai citée n'a pas de sens mathématique?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci Gérard.
Pappus:
Est-ce $AM$ qui dérange? En fait $M$ étant identifié à $\overrightarrow{OM}$, j’identifie $AM$ à $A\overrightarrow{OM}$, lui-même étant identifié au produit matriciel $A\tilde{M}$ où $\tilde{M}$ est la matrice à $1$ colonne et $\dim E$ lignes dont les coefficients sont les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$ dans la base $\mathcal{B}$.
Soit V un espace vectoriel.
Un ensemble affine attaché à V est un ensemble dont les éléments (appelés points) ont les propriétés suivantes :
- à tout bipoint (a,b) de ExE on peut faire associer un élément de V, qu'on peut noter ab et l'appeler vecteur si on veut
- quel que soit a, b et c de E, les vecteurs associés vérifient la relation ac=ab+bc où + est l'addition dans V
- pour tout a de E et tout m de E, l'application de E dans V : m devient am est bijective.
On peut rapidement justifier l'écriture a+am=m et am=m-a mais par contre a+b= c n'a aucun sens.
On pourra écrire a+b=2g quand on aura introduit les barycentres, ça cela veut dire que quelque soit m : ma+mb=2mg, qui est une écriture licite dans C.
Amateur.
PS: il y a une autre définition plus moderne, mais j'avoue ne pas être à l'aise avec.
Un ensemble E est un espace affine de direction un espace vectoriel V si le groupe additif (V,+) de V opère simplement et transitivement sur E.
En mathématiques, tu ne peux pas dire des à peu près.
Il faut être précis constamment!
Dans ton texte, $M$ est un point de l'espace affine $\mathcal E$ que tu identifies au vecteur $\overrightarrow{OM}$ qui appartient à l'espace vectoriel $E$ associé à $\mathcal E$.
D'autre part $A$ est une matrice carrée de taille $n$ où $n=\dim(E)$.
Elle opère sur $\mathbb R^n$ et non sur l'espace vectoriel $E$.
Ta notation $AM$ n'a donc pas le moindre sens mathématique !
Amicalement.
[small]p[/small]appus
$AM := A\tilde{M}$ où $\tilde{M}$ est le vecteur colonne de $\R^n$ dont les composantes sont les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$ dans la base $\mathcal{B}$.
Bien sûr que tu peux tout te permettre sauf le manque de précision!
Mais es-tu capable d'expliquer précisément ce que tu veux dire?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Soit $A$ une matrice de taille $\dim E$.
On pose, pour tout $x \in E$ : $Ax := A f(x)$ si bien que $AX$ pour $u\in \R^{\dim E}$ se note $A f^{-1}(X)$.
Non ?
Tu as vraiment le don d'embrouiller des choses qui sont pourtant simples.
Tu as au départ un espace affine $\mathcal E$ d'espace vectoriel associé noté $E$ et de dimension $n$
Tu choisis un repère: $r=\{O; e=(e_1,e_2,\dots,e_n)\}$ de ton espace affine $\mathcal E$.
Ce faisant, tu obtiens un isomorphisme affine : $$
\varphi:\mathcal E\longrightarrow \mathbb R^n ;\ M\mapsto X=(x_1,x_2,\dots,x_n)\qquad
$$ tel que : $$
M=O+x_1e_1+x_2e_2+\dots +x_ne_n\qquad
$$ Maintenant soit $f$ un morphisme affine de $\mathcal E$ dans lui même.
L'application $f_r=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}:\mathbb R^n\to\mathbb R^n\qquad$ est l'écriture du morphisme $f$ dans le repère choisi.
Il y aurait un beau diagramme commutatif à faire, pardonne ma paresse AD !! [Voilà ;-) AD] $$
\xymatrix{
\mathcal E \ar[r]^{f} \ar[d]_{\varphi} & \mathcal E \ar[d]^{\varphi} \\
\mathbb R^n \ar[r]^{f_r}&\mathbb R^n
}
$$ On a la relation (qui définit pratiquement tout morphisme affine) : $$
f(M)=f(O)+\overrightarrow f(\overrightarrow{OM})\qquad
$$ Cette relation s'écrit : $$
X'=A.X+B,\qquad
$$ où $X'=(x'_1,x'_2,\dots,x'_n)=\varphi\big(f(M)\big),$ $\qquad X=(x_1,x_2,\dots,x_n)=\varphi(M),$ $\qquad B=(b_1,b_2,\dots,b_n)=\varphi\big(f(O)\big)\qquad$ et $\ A=\mathrm{Mat}_e(\overrightarrow f).$
Ce qui se conçoit bien s'exprime clairement et les mots pour le dire viennent aisément, même si c'est un peu long à dire !, alors que toi en essayant d'être bref, tu te mélanges finalement les pinceaux !!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Et beau.
Merci beaucoup mon cher pappus pour le temps que tu m’as accordé.
Il y a quand même des choses sur lesquelles je ne me trompe pas. :-D
Merci AD :-)
Je ne vais quand même pas à passer le restant de mes jours à te faire dessiner des diagrammes commutatifs !!!
Amitiés
[small]p[/small]appus
[À ton service. :-) AD]
Étant donnée une application affine $\varphi : \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ et un point $O$, on a de manière unique $\varphi=t_u \circ \psi$ où $\psi$ fixe $O$ et $u$ un vecteur de $E$ (direction de $\mathcal{E}$). Mais si on vectorialise en $O$, on trivialise la propriété non? on dit juste que $\varphi : \mathcal{E}_O \to \mathcal{E}_O$ est linéaire j'ai l'impression? Merci.
[Restons dans la discussion déjà ouverte sur le sujet. AD]
- « on vectorialise en $O$ » : qu'entends-tu par là ? Qu'on considère la bijection entre $E$ et $\mathcal{E}$ qui envoie un vecteur $u$ de $E$ sur le point $O+u$ de $\mathcal E$ ? Et alors ?
- « on trivialise la propriété » : qu'entends-tu par là ? Est-ce que tu penses que tout à coup, parce que tu as changé ton regard sur $\mathcal E$, l'application $\varphi$ se met à avoir un point fixe ?
Bref, en l'état ce n'est pas acceptable. Cependant, c'est une bonne idée de « vectorialiser en $O$ » – pour autant que tu précises ce que tu veux dire.Que veut dire trivialiser une propriété en mathématiques?
De plus le verbe trivialiser n'existe pas!
Dans notre domaine, on ne se contente pas d'impressions mais de certitudes!
Pourquoi ne pas dire simplement que tu n'en sais rien?
La preuve en est que ce que tu dis est faux.
Une application affine d'un espace vectoriel (muni de sa structure affine naturelle) n'est linéaire que si elle fixe le vecteur nul.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Oui c’est vague et imprécis. En fait, j’essayais de donner une interprétation d’une phrase de Michèle Audin. Pauvre tentative!
J’ai mis en p-j « l’équivalence » dont il est question. J’ai écrit que la formule précédente entraînait $\overrightarrow{\varphi}=\overrightarrow{\psi}$ et j’en ai déduit n’importe quoi...
Les exemples apparaissent quelques pages avant la propriété décomposition unique de $\varphi$.