L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Système de deux équations vectorielles
dans Géométrie
Bonjour,
Soient $\bf A$, $\bf B$, $\bf A'$, $\bf B'$ quatre vecteurs de $\R^3$.
Trouver un vecteur $\bf X$ tel que $A\wedge X = B$ et $A'\wedge X = B'$.
A+
Soient $\bf A$, $\bf B$, $\bf A'$, $\bf B'$ quatre vecteurs de $\R^3$.
Trouver un vecteur $\bf X$ tel que $A\wedge X = B$ et $A'\wedge X = B'$.
A+
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Réponses
$a \wedge x$ est perpendiculaire à $a.$ Donc $x$ n’existe pas sauf si $a$ et $b$ sont perpendiculaires.
On suppose donc $a, b$ perpendiculaires et $a’,b’$ sont perpendiculaires.
L’énoncé est-il complet ?
Et si $X$ est une solution alors $X$ est orthogonal à $B$ et à $B' $.
Si $B$ et $B'$ ne sont pas colinéaires alors $X$ est la forme $ xB\wedge B'$.
Alors $B= A\wedge X=x(A.B')B$ qui n'a de solution que si $(A.B')\neq 0$ et $x=\frac {1}{(A.B')}$.
De la même façon il est nécessaire que $(A'.B)\neq 0$ et $x=\frac {1}{(A'.B)}$
Nouvelle condition nécessaire $(A.B')=-(A'.B)$ alors $X=\frac {1}{(A'.B)} B\wedge B'$.
Enfin si $B$ et $B'$ sont colinéaire, et que $A$ et $A'$ ne le sont pas $B$ et $B'$ sont nécessairement colinéaires à $A \wedge A' $,
en supposant $B'=yB$ alors $(yA-A') \wedge X=0$ donc $X$ est colinéaire à $yA-A'$.
Y aurait-il une construction géométrique simple ?
Même question pour le système $U.X = c$ et $U'.X = c'$ (produit scalaire).
A+