Produit de cosinus

Marker · June 2020

Bonjour, j'ai résolu un exercice où il fallait démontrer la formule suivante. $$

\prod_{i=1}^n \cos a_i = \frac{1}{2^n} \sum_{e_i\in\{-1, 1\}}\cos \sum_{i=1}^n e_ia_i,

$$ Cela ne pose pas de problème avec une récurrence et en remarquant que (et c'est d'ailleurs la correction proposée) :
$\cos a_1 \cos a_2 = \frac{1}{2}[\cos \left(a_1 + a_2\right) + \cos \left(a_1 - a_2\right)] = \frac{1}{4}[\cos \left(a_1 + a_2\right) + \cos \left(a_1 - a_2\right) + \cos \left(-a_1 - a_2\right) + \cos \left(-a_1 + a_2\right)]$.

Seulement ça ne me plaît pas beaucoup une récurrence ici et je ne trouve pas d'autre démonstration. J'ai cherché aussi sur internet sans succès ; je ne connais pas le nom de cette formule donc c'est assez compliqué de trouver des informations dessus.
Avez-vous des idées ou des liens qui pourraient m'aider ? Toute façon je continue de chercher de mon côté.

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PS. Désolé c'est ma première utilisation du LaTeX. Je n'ai pas réussi à mettre en indice de la deuxième somme e_i dans {-1, 1} à la place du N.
[la souris sur l'expression, Clic droit > "Show math as" > "Tex commands". AD]

marsup · June 2020

C'est $\frac{1}{2^{n-1}}$, pas $\frac{1}{2^{n}}$. ah non c'est bon, ok !
$\let\epsilon\varepsilon$

Tu peux simplement développer la formule d'Euler $$\cos(a_k) = \frac{1}{2} \cdot
\sum_{\epsilon_k = \pm1}
\exp(i \cdot \epsilon_k \cdot a_k)
.
$$ Ça donne : $$
\begin{align}
\prod_{k=1}^n\cos(a_k)
& = \frac{1}{2^n} \cdot \prod_{k=1}^n \sum_{\epsilon_k = \pm1} \exp(i \cdot \epsilon_k \cdot a_k) \\
& = \frac{1}{2^n} \cdot \sum_{\epsilon \in \{\pm1\}^n} \exp\Big(i \cdot \sum_{k=1}^n\epsilon_k \cdot a_k\Big)
\end{align}
$$ et on regroupe $\exp\big(i \cdot \sum\limits_{k=1}^n\epsilon_k \cdot a_k\big)$ avec son conjugué $\exp\big(-i \cdot \sum\limits_{k=1}^n\epsilon_k \cdot a_k\big)$ pour donner un $2\times\cos(\dots)$.

Marker · June 2020

Merci Marsup ! (tu)

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