Géométries riemanniennes et finsleriennes

Bonjour

Si je vous donne un espace métrique, comment vérifiez-vous si cet espace a une structure riemannienne ou finslerienne ?
Par exemple, dans l'espace des matrices symétriques réelles définies positives de taille $n$, la distance définie par $d(A,B) =\|\log A^{-1/2}BA^{-1/2}\|_F$, où $\|\cdot\|_F$ est la norme de Frobenius, comment trouver facilement la métrique riemannienne qui induit cette distance ? D'ailleurs, est-elle unique ?
Si on remplace la norme de Frobenius par la norme opérateur, on obtient une structure finslerienne, mais alors la même question se pose, y a-t-il une méthode standard pour le démontrer ?

Avez-vous éventuellement des références de cours à ce sujet (les manuels de géométrie riemannienne ne répondent pas vraiment à ces questions) ?

Une autre question : qu'en est-il du cas de la dimension infinie ? Comment définit-on une variété riemannienne ou finslerienne de dimension infinie ? Par exemple, si on considère l'ensemble des fonctions convexes et continues sur $[0,1]$, muni de la norme infinie (ou de la norme $p$, pour un $p\geq 1$ quelconque, est-ce une variété riemannienne ? Ou plutôt, si $p\neq 2$, finslerienne ?

Merci !