Preuve d'une affirmation floue
dans Géométrie
Bonjour ! Je voudrais savoir si quelqu'un saurait démontrer une affirmation trouvée dans un exo des Oraux X-ENS de Cassini.
On a $x,y,z$ trois points de $\mathbb{R}^2$ tels que 0 soit à l'intérieur (au sens large) du triangle $xyz$, et $t\in\mathbb{R}^2$ quelconque. L'auteur affirme : "On peut toujours choisir deux sommets parmi $x,y,z$ tels que 0 soit dans l'intérieur (au sens large) du triangle formé par ces deux sommets et t".
Ça me semble bien vrai intuitivement, mais je ne vois pas comment on pourrait le montrer formellement.
Si vous avez des idées, n'hésitez pas !
On a $x,y,z$ trois points de $\mathbb{R}^2$ tels que 0 soit à l'intérieur (au sens large) du triangle $xyz$, et $t\in\mathbb{R}^2$ quelconque. L'auteur affirme : "On peut toujours choisir deux sommets parmi $x,y,z$ tels que 0 soit dans l'intérieur (au sens large) du triangle formé par ces deux sommets et t".
Ça me semble bien vrai intuitivement, mais je ne vois pas comment on pourrait le montrer formellement.
Si vous avez des idées, n'hésitez pas !
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Réponses
As-tu jamais entendu parler de barycentres?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Donc ici on aurait $a,b,c$ positifs tels que $0=ax+by+cz$
Mais je ne vois pas vraiment comment gérer les différents cas quand on introduit $t$ :-(
Donc tu as entendu parler de barycentres, ce n'est pas rien!
Mais sais-tu ce que sont les coordonnées barycentriques?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tu n'es qu'une victime de plus de la vacuité de notre enseignement.
Ce n'est qu'un simple exercice sur les changements de coordonnées barycentriques!
L'adjectif est hélas de trop pour toi!
Mais bof, ce n'est que de la défunte géométrie affine, tu t'en remettras!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Oui une figure, cela aide.
Et c'est pourquoi c'est moi qui en trace le plus sur ce forum!
Mais elle ne suffit pas!
Il y a des démonstrations à faire!
Pourrais-tu nous écrire la preuve de la question de Bonjourpanda?
Elle tient en quelques lignes!
Amicalement
[small]p[/small]appus
C'est quasi direct pour le néant!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je traite le cas où il existe $a,b,c$ non nuls tels que $t=ax+by+cz$.
Quand le triangle de référence est $xyt$, les coordonnées homogènes de $O$ sont $(\alpha c-\gamma a:\beta c-\gamma b:\gamma)$.
Avec $xtz$, $O(\alpha b-\beta a:\beta:\gamma b-\beta c)$.
Avec $tyz$, $O(\alpha:\beta a-\alpha b:\gamma a-\alpha c)$.
Supposons que $O$ ne soit pas intérieur à $xyt$.
Sans perte de généralité, on peut supposer que $\alpha c-\gamma a<0$.
Alors on ne peut pas avoir $\gamma b-\beta c<0$ et $\beta a-\alpha b<0$ donc on peut supposer par exemple que $\gamma b-\beta c\geq 0$.
Ainsi, si $\alpha b-\beta a\geq 0$, $O$ est intérieur à $xtz$.
Sinon, $O$ est intérieur à $tyz$.