Une relation dans un triangle isocèle

Jean-Louis Ayme · June 2020

Bonjour,

1. ABC un triangle A-isocèle
2. (I) le cercle inscrit à ABC
3. P le pied de la A-bissectrice intérieure à ABC.

Question : 2.(IB/BC)² = AI/AP.

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol · June 2020

Bonjour,

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

w=u^2/v; % ABC est isocèle en A

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

IB2=Factor(b*bB);
BC2=Factor((c-b)*(cB-bB));

Rapport1=Factor(IB2/BC2) % On trouve -u*v/(u - v)^2

AI2=Factor(a*aB);

p=2*u*v*w/(u^2+v*w);
pB=2*uB*vB*wB/(uB^2+vB*wB);

AP2=Factor((p-a)*(pB-aB));

Rapport2=Factor(AI2/AP2) % On trouve 4*u^2*v^2/(u - v)^4

% On constate que 4* Rapport1^2 = Rapport2
% Donc on a bien 4*(IB/BC)^2=AI/AP

Cordialement,

Rescassol

Bouzar · June 2020

Bonjour Jean-Louis et Rescassol,

Utilisons les coordonnées barycentriques.

$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].
\qquad
I\simeq\left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c\end{array}\right].
\qquad
P\simeq\left[\begin{array}{c} 0\\ b\\ c\end{array}\right].$
On a :
$IB^2=\dfrac{ac(a-b+c)}{a+b+c}, BC^2=a^2, AI=\sqrt{ \dfrac{bc(-a+b+c)}{a+b+c} }, AP=\sqrt{ \dfrac{bc(-a+b+c)(a+b+c)}{(b+c)^2} }.$
On en tire alors que :
$2 \left( \dfrac{IB}{BC}\right)^2=2\dfrac{(a-b+c)c}{a(a+b+c)}$ et $\dfrac{AI}{AP}=2\dfrac{(b+c)}{a+b+c}.$
Par hypothèse $ABC$ un triangle $A$-isocèle donc $b=c.$
On obtient ainsi que :
$2 \left( \dfrac{IB}{BC}\right)^2=\dfrac{2b}{a+2b}$ et $\dfrac{AI}{AP}=\dfrac{2b}{a+2b},$ d'où l'égalité $$2 \left( \dfrac{IB}{BC}\right)^2=\dfrac{AI}{AP}=\dfrac{2b}{a+2b}.
$$ Amicalement.

Rescassol · June 2020

Bonjour

Bouzar, pourrais-tu dire comment tu fais pour calculer, par exemple, $AP$ ?

Cordialement,
Rescassol

Bouzar · June 2020

Bonsoir Rescassol,

Soit $M,N\simeq\left[\begin{array}{c} u\\ v\\ w\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} x\\ y\\ z\end{array}\right].$
La distance entre $M$ et $N$ est donnée par :
$\sqrt{\dfrac{S_A ((v + w) x - u (y + z))^2 + S_B ((w + u) y - v (z + x))^2 +S_C ((u + v) z - w (x + y))^2}{
(u + v + w)^2 (x + y + z)^2}}.$
Amicalement

Rescassol · June 2020

Bonjour,

Merci, Bouzar.

Cordialement,

Rescassol

JLT · June 2020

Soit $\beta$ l'angle en $B$. Soit $D$ le projeté de $I$ sur $(AB)$.

On a $\dfrac{IB}{BC}=\dfrac{IB}{2BP}=\dfrac{1}{2\cos\frac{\beta}{2}}$.

En considérant le triangle rectangle $DAI$, on trouve $AI=\dfrac{r}{\cos\beta}$.

En considérant le triangle rectangle $PAB$, on trouve $AP=BP\tan\beta$.

En considérant le triangle rectangle $PIB$, on trouve $BP=\dfrac{r}{\tan\frac{\beta}{2}}$.

De ces trois dernières égalités on tire $\dfrac{AI}{AP}=\dfrac{1}{2\cos^2\frac{\beta}{2}}$, ce qui conclut.