Réunion disjointe de cercles

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dans Géométrie
Bonjour, comment répondez-vous à la question suivante ; posée dans la cadre de la géométrie euclidienne classique.
[size=medium]L'espace est-il réunion disjointe de cercles non réduits à un point ?[/size]
Mon message est un peu vide mais je ne parviens pas à démarrer...

[size=medium]Marker[/size]

Réponses

  • Calli
    Calli
    Edit : J'ai mal lu la question d'origine. J'ai lu "plan" au lieu de "espace".

    Bonjour,
    Supposons par l'absurde que le plan est réunion disjointe de cercles non ponctuels. Prends l'un de ces cercles, puis un deuxième cercle de la partition dans ce premier cercle, puis un troisième cercle dans ce deuxième cercle, etc. Fais en sorte que les rayons de tes cercles tendent vers zéro, et montre qu'il y a alors un cercle ponctuel dans la partition considérée. Et ça c'est absurde. La preuve que je connais utilise des outils de prépa et pas que de la géométrie euclidienne.
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    Merci Calli. Même si ce que tu proposes ne rentre pas dans le cadre de la géométrie euclidienne, ça m'intéresse de formaliser un petit peu ce que tu proposes, mais je ne trouve pas de sources pour. Est-ce que tu peux me partager un lien qui illustre ce que tu utilises, le nom de ces outils, ou d'un chapitre si ces notions sont étudiées en prépa?

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  • marsup
    marsup
    Je crois qu'il y a une annale de l'agreg externe sur la fibration de Hopf qui traite le cas du plan comme contre-exemple initial.
  • Chaurien
    Chaurien
    Apparemment ça vient de Sierpinski mais on a du mal à retrouver la référence précise :

    https://math.stackexchange.com/questions/3155009/reference-euclidean-plane-is-not-union-of-disjoint-circles
    https://mathoverflow.net/questions/162324/covering-the-space-by-disjoint-unit-circles
  • Calli
    Calli
    Edit : J'ai mal lu la question d'origine. J'ai lu "plan" au lieu de "espace".

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2035744,2035790#msg-2035790
    Les notions utiles sont la connexité (mais on peut la remplacer par un simple TVI) et quelque chose du type suites de Cauchy ou compacité. Je joins une preuve que j'avais écrite (à ne pas lire tout de suite si tu souhaites chercher par toi-même).
  • bisam
    bisam
    Il me semble que Marker parlait de l'espace (sous-entendu $\R^3$)... et dans ce cas, c'est possible.
    On peut le démontrer par cardinalité avec une récurrence transfinie, mais on peut aussi trouver une famille explicite de cercles disjoints. C'est un exercice que je donnais à faire en sup...
  • Calli
    Calli
    Oh ! Zut. Tu as raison bisam, j'ai lu trop vite !
  • Marker
    Marker
    Merci pour les liens:-).

    Si j'ai bien compris une sphère peu se construire comme une réunion disjointe de cercles non réduits en un point. Si on prend n'importe quel couple de points (A, B) sur cet sphère, on a deux cas distincts possibles : soit le plan tangent à la sphère passant par A, PA et celui passant par B, PB sont parallèles soit ils se coupent "hors" de la sphère. Et cette paire de plans est déterminée de manière unique. Autrement dit, tous les autres plans passants par la droite formée par l'intersection de PA et de PB coupent la sphère en "formant" un cercle qui lui aussi est unique. Puis si PA//PB, alors personne coupe personne. En fin de compte, les cercles formés sont deux à deux disjoints et leur réunion est la sphère exceptée les points A et B. Et après cela, je suis tenté de considérer l'ensemble des sphères de rayons variants non nuls, pour ainsi obtenir une boule par réunion. Mais j'avance dans le brouillard ...

    Qu'en pensez-vous? Ne vous étonnez pas si j'ai fait une énorme faute car je ne suis pas encore familiarisé avec les concepts.
  • bisam
    bisam
    1) Première étape, presque déjà faite, justifier qu'une sphère privée de deux points peut-être écrite comme la réunion de cercles disjoints. Il y a effectivement deux cas à envisager suivant que les deux points sont diamétralement opposés ou non. Dans ce dernier cas, on pourra considérer les intersections avec la sphère de tous les plans contenant la droite intersection des plans tangents en ces deux points.
    2) Deuxième étape : placer une infinité de cercles de diamètres égaux, et espacés de ce même diamètre, centrés sur un axe. (Il me semble qu'il n'est même pas obligatoire de les prendre dans un même plan.
    3) Troisième étape : choisir comme origine un point commun à l'un de ces cercles et à cet axe. Montrer que chaque sphère centrée en ce point rencontrent la famille axiale de cercles en exactement deux points.
    4) Conclure.
  • Domi
    Domi
    Il s'agit d'un des problèmes traités dans le magnifique petit livre de Paul Halmos , "Problèmes pour mathématiciens petits et grands" .

    Domi
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Je confirme le message de marsup, je suis tombé sur ce sujet d’agrégation externe lors d'une préparation.
    Le sujet date d’avant 2007.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Marker
    Marker
    Merci Bisam, j'ai réussi à conclure.

    Pour rebondir sur le dernier message de Domi dans ce fil, on m'a transmis ce problème comme faisant aussi partie de l'ouvrage Problem-solving strategies d'Arthur Engel. Dont je mets le lien pour ceux que ça intéresse (et qui comprenne l'anglais !) : ICI. Vous connaissez probablement mais il existe une traduction en français en deux tomes que j'ai commandée : Solutions d'expert chez Cassini pour 25 euros chacun.
    Le problème du fil et sa solution sont donc dans ce pdf mais je n'ai pas eu le courage de chercher dans les nombreuses pages... (Et le Ctrl-F ne fonctionne pas).
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