Un point dans un carré

kolotoko
kolotoko
dans Géométrie
Bonjour,

soit un carré ABCD de coté c.
Un point P à l' intérieur du carré est tel que PA est la moitié de PB et est le tiers de PC.
Calculer PD en fonction de c.

Bien cordialement.
kolotoko.

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Repère cartésien orthonormal d'origine $B$, où les coordonnées de $A$ sont $(c,0)$ et les coordonnées de $C$ sont $(0,c)$.
    Les coordonnées de $P$ sont $(x,y)$. Soit $PA=z$, $PB=2z$, $PC=3z$.
    On a les équations : $PB^2=x^2+y^2=4z^2$, $PC^2=x^2+(c-y)^2=9z^2$, $PA^2=(c-x)^2+y^2=z^2$.
    Ça se résout...
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • soland
    soland
    Trois cercles d'Apollonius se coupent en ce point.
    D se demande ce qu'il fait là.
  • kolotoko
    kolotoko
    Bonjour,
    on demande PD.
    Le calcul donne 0,875464154c.
    Reste à trouver la valeur exacte.

    Bien cordialement.
    kolotoko.
  • Chaurien
    Chaurien
    Poursuivons.
    Le système est équivalent à : $x^2+y^2=4z^2$, $\ c^2-2cy=5z^2$, $\ c^2-2cx=-3z^2$.
    En tirant $x$ et $y$ des deux dernières équations et en reportant dans la première, on obtient une équation bicarrée en $z$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Poursuivons encor.
    L'équation en $z$ est : $17z^{4}-10c^{2}z^{2}+c^{4}=0$.
    Solutions : $z^{2}=\frac{5\pm 2\sqrt{2}}{17}c^{2}$.
    Pour que $y>0$ on ne garde que la plus petite : $z^{2}=\frac{5- 2\sqrt{2}}{17}c^{2}$.
    On en déduit $x$ et $y$, et finalement $PD^2=(c-x)^2+(c-y)^2$.
    Pénible...
    Mais Pythagore nous permet de simplifier. Pour tout point $P$ intérieur au carré on a : $PC^2-PB^2=PD^2-PA^2$ (et même pour tout point $P$ du plan, d'ailleurs, mais peu importe ici).
    D'où présentement : $PD^2= PA^2+PC^2-PB^2=6z^2$.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Effectivement $\sqrt{\frac{6}{17}(5-2\sqrt{2})}\simeq 0,87546$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Maintenant j'aimerais bien savoir quel est « le calcul » évoqué par kolotoko et qui lui donne seulement la valeur approchée.
  • kolotoko
    kolotoko
    Bonjour,
    c'est bien la valeur exacte dont j'ai donné une approximation.
    J'ai fait un calcul qui grosso et modo ressemble à ce que Chaurien propose.
    À remarquer que l'angle APB vaut 135 °.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour,

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Miniatures Geometriques addendum VI.pdf p. 36-37

    (avec la formule de Josefsson Martin )

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • soland
    soland
    La construction de P :104816
  • kolotoko
    kolotoko
    Bonjour,

    merci à Jean-Louis Ayme pour sa somptueuse contribution.

    Soland devrait être un peu moins concis et donner quelques explications.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • soland
    soland
    On donne deux points $F$, $G$ et un réel positif $\kappa\neq 1$ . Le lieu des points $P$
    tels que $|PG| = \kappa|PF|$ est un cercle (d'Apollonius) noté ici $a(FG,\kappa)$ .
    Etant donné un point $P_0$ du lieu, on construit son centre comme ci-dessous.

    Le point $P$ cherché est l'une des deux intersections
    $a(AB,2) \cap a(AC,3) \cap a(BC,3/2)$

    Avec les th. de l'angle inscrit, celui de Ptolémée et celui du produit constant, les cercles d'Apollonius
    sont les premières cocottes quelque peu rigolottes de la théorie du cercle :
    elles en ignorent le centre.104874
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