Produit scalaire (débutant)

Bonjour, j'aurais aimé donner plus d'informations. Ce n'est pas par fainéantise que je ne l'ai pas fait dans mon message précédent mais bien que je ne suis pas très qualifié pour. Mais, ce qui suit devrait suffire et me paraît assez clair pour que vous puissiez m'aider.

J'utilise la lettre $O$ pour désigner l'origine. Les lettres majuscules $A, B, C$, etc. désignent des points de l'espace.
On se place dans un espace tel qu'il est défini par Euclide : un plan ou un espace formé de points dans lequel les notions de distance et d'angle sont connues. On sait calculer le cosinus de tout angle $(\overrightarrow{OA} ,\overrightarrow{OB})$ qui désigne l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$, on dispose du théorème de Pythagore, la loi des cosinus et le théorème de Thalès. Ici, un vecteur est représenté par un segment orienté, ayant pour extrémités un point de départ et un point d'arrivée. L’emplacement dans le plan ou l'espace n’a pas d’importance, deux déplacements de deux points d'origine distincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. La translation qui envoie $A$ sur $B$ est désignée par le vecteur noté $\overrightarrow{AB}$

Bonjour Rescassol, "ma" définition du produit scalaire :
Après avoir introduit un système de coordonnées rectangulaires dans l'espace de dimension d.
Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u} = (u_1, ..., u_d)$ et $\overrightarrow{v} = (v_1, ..., v_d)$ est

Navré d'avoir écorché ton nom! C'est rectifié.

Honnêtement, ces précisions et définitions sont-elles nécessaires pour me donner des pistes ou proposer des éléments de démonstration de l'égalité en question? C'est une réelle question que je vous poses. Vous savez, je suis en classe de terminale, je pense qu'on est d'accord sur le fait que le programme actuel de mathématique du lycée est presque vide (surtout en géométrie!). Donc je découvre en quelque sorte la géométrie depuis quelques jours seulement. Certes, un chapitre au lycée est consacré à ce fameux produit scalaire mais, par exemple, l'égalité en question est présentée comme "la" définition du produit scalaire, ce qui est contradictoire avec le contenu de vos réponses (et vous avez sûrement raison). Ce que je veux dire c'est que vous demandez beaucoup à quelqu'un qui a à peine commencé à s'initier à la géométrie. Peut-être pouvez-vous m'indiquer des sources pour que je gagne en précision quand je parle de géométrie.
Donc, oui, je manque certainement de précision dans mes messages, peut-être que lorsque je dis "géométrie" tout court, c'est flou mais je n'ai pas encore les bases!

Merci pour votre patience.